Espaces vectoriels

1         Espaces vectoriels

Définition

On appelle espace vectoriel un ensemble E d’éléments, appelés vecteurs, sur lesquels on peut définir deux lois de composition.

 

(a) Une loi de composition interne : l’addition notée + qui vérifie :

a1.   :                  (associativité)

a2.   :                                        (commutativité)

a3.  tel que ,  :  est élément neutre de E.

a4.  ,  tel que  :  est l’élément opposé de .

 

(b) Une loi de composition externe : la multiplication par un scalaire, notée , qui vérifie :

b1.  ,  :

b2.  ,  :

b3.  ,  :

b4.   :

 

Remarques
  1. Le dernier axiome (b4) peut paraître inutile. Cependant, si on considère l’ensemble E des couples  tels que  muni de la loi de composition externe , on en comprend immédiatement l’utilité.

 

  1. Par souci de clarté, le symbole  de la loi de composition externe sera désormais omis. Ainsi, l’élément  sera désormais désigné par .

 

Exemples

  1. L’ensemble des vecteurs du plan est un espace vectoriel.
  2.  et  sont des espaces vectoriels. Voir.
  3. L’ensemble noté  des fonctions définies de  dans , continues et dérivables d’ordre n est un espace vectoriel. Justifier(1).
  4. L’ensemble  des polynômes de degré inférieur ou égal à n additionné du polynôme nul est un espace vectoriel. Justifier(2).

 

Proposition

Pour tout  et pour tout , on a :

            (i)         et

            (ii)       

            (iii)        : on peut donc écrire .

 

Le point sur…

Nous avons parlé en introduction des vecteurs du plan. Nous venons de voir que  est un espace vectoriel. Nous allons maintenant établir le lien que l’on peut faire entre les vecteurs du plan et les éléments de .

Si on munit le plan d’un repère (on parle alors de plan affine), alors chaque point du plan est repéré par des coordonnées. Si on appelle O l’origine du repère, alors pour tout vecteur  du plan, il existe un unique point M de coordonnées  tel que .

Ainsi, la notation  qui sera largement utilisée dans la suite de ce cours, signifie que x et y sont les coordonnées de l’extrémité du vecteur  dans le plan affine. On appelle x l’abscisse et y l’ordonnée.

En conséquence, si  et  sont les coordonnées des extrémités des vecteurs  et , alors les coordonnées de l’extrémité du vecteur  seront . De même, les coordonnées de l’extrémité du vecteur , , seront .