Dans toute la suite l’ensemble E désignera un espace vectoriel.
Définition
Soit E un espace vectoriel et F un sous-ensemble de E ( ). F est un sous-espace vectoriel de E si F est lui-même un espace vectoriel pour les lois d’addition et de multiplication par un scalaire définies sur E.
Cette définition sous-entend que tout sous-espace vectoriel est lui-même un espace vectoriel. Il en découle les critères d’identification des sous-espaces vectoriels suivants.
Soit E un espace vectoriel et F un sous-ensemble de E ( ). On dit que F est un sous-espace vectoriel de E si et seulement si :
(i) F est non vide :
(ii) , alors : F est stable pour l’addition
(iii) , , alors : F est stable pour la multiplication par un scalaire
Exemple
Soit E un espace vectoriel. L’ensemble constitué du seul élément neutre de la loi de composition interne de E ainsi que E lui-même sont des sous-espaces vectoriels de E.
Corollaire
Soit E un espace vectoriel et F un sous-ensemble de E ( ). Si F vérifie les propriétés (i) et (ii) suivantes, alors F est un sous-espace vectoriel de E :
(i) F est non vide
(ii) , , alors
Exemples
1. Montrer que l’ensemble est un sous-espace vectoriel de . Réponse.
2. Soit f une fonction de classe , vérifiant l’équation différentielle suivante : . Montrer que l’ensemble F des fonctions solutions de cette équation différentielle est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel des fonctions de classe . Réponse.