Espaces vectoriels

4         Dépendance et indépendance linéaire

On rappelle que E désigne un espace vectoriel.

4.1    Famille libre et famille liée

Définition 1 :

Soit  une famille de vecteurs d’un espace vectoriel E. On dit que cette famille est libre si et seulement si : . On dit alors que les vecteurs , , sont linéairement indépendants.

 

Définition 2 :

Une famille qui n’est pas libre est dite liée ; les vecteurs , , sont alors linéairement dépendants ou liés.

  Remarques

·        Si  est l’un des vecteurs , par exemple , alors la famille des vecteurs , , est nécessairement liée, et les vecteurs  sont linéairement dépendants. Justifier.

·        Si deux des vecteurs  sont égaux ou multiples l’un de l’autre, par exemple  avec , alors les vecteurs , , sont linéairement dépendants. Justifier.

·        Deux vecteurs sont linéairement dépendants si et seulement si ils sont multiples l’un de l’autre. On dit qu'ils sont colinéaires.

 

Exemples

  1. La famille  est-elle libre ? Réponse.
  2. Montrer que la famille  est liée. Réponse.

 

4.2   Combinaisons linéaires et dépendance linéaire

Proposition

Une famille  est liée si et seulement si l’un au moins des vecteurs s’écrit comme une combinaison linéaire des autres vecteurs de la famille.

 

Conséquence

Si la famille  est liée, alors les vecteurs , , sont linéairement dépendants, c’est-à-dire qu’il existe des , non tous nuls tels que . Ainsi, en supposant que , on peut écrire :

 est bien une combinaison linéaire des autres vecteurs .