Définition
Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de l’espace vectoriel E.
La somme de F et G, qui s’écrit , est l’ensemble des constitué de toutes les sommes avec et . Ainsi .
Si on considère F et G comme deux sous-espaces vectoriels de l’espace vectoriel E, alors :
- car et ;
- Si et appartiennent à , avec et , alors :
- Enfin, pour tout scalaire , il vient :
Tout ceci permet d’en arriver au théorème suivant :
La somme de sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel E est aussi un sous-espace vectoriel de E.
Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de dimension finie de E. Alors est de dimension finie et :
Exemple
Considérons l’espace vectoriel . Soient et . Donner la dimension de . Réponse.
L’espace vectoriel E est dit la somme directe des sous-espaces vectoriels F et G, et on note , si chaque vecteur s’écrit d’une manière unique sous la forme avec et .
Théorème
L’espace vectoriel E est la somme directe des deux sous-espaces vectoriels F et G si et seulement si et .
Exemples
Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E. La somme de F et G est directe si et seulement si , il existe un unique couple tel que .
Soient E un espace vectoriel, F et G deux sous-espaces vectoriels de E. F et G sont dits supplémentaires dans E lorsque leur somme est directe et égale à E : .
Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E. F et G sont supplémentaires dans E si et seulement si et .
Exemple
Dans l’exemple ci-dessus, et sont supplémentaires dans .