A= et B=
C= soit C=
Moyen mnémotechnique
Exemple 3
Soient A= et B= . Calculer AB. Réponse.
Soient deux matrices et toutes deux de dimension ;
On additionne terme à terme pour obtenir : de dimension .
Propriétés
Soient A, B et C trois matrices de dimension et 0 la matrice dont les éléments sont tous égaux à 0.(i) (associativité)
(ii) (élément neutre)
(iii) (opposé)
(iv) (commutativité)
Remarque :
Soient une matrice de dimension et . On définit la matrice comme matrice dont tous les coefficients sont multipliés par : .
est aussi de dimension .
Remarque :
Propriétés
Soient A et B deux matrices de dimension et deux réels.(i)
(ii)
(iii)
(iv) et (ne pas confondre 0 scalaire et 0 matrice)
Conséquence
Compte tenu des propriétés ci-dessus, l’ensemble des matrices de dimension , muni des deux lois précédemment définies, est un espace vectoriel.
Soient une matrice et une matrice le produit des deux matrices a pour dimension et s’écrit :
avec , pour et
Remarque
Le produit AB n’est donc possible que si le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B (p).
Remarques
En général, la multiplication de deux matrices n’est pas commutative :
· Si AB existe, BA n’existe pas forcément.
· Si BA existe, alors généralement .
Propriétés
Soient , , , et :(i) ® associativité [matrice de dimension ]
(ii) ® distributivité à gauche [matrice de dimension ]
(iii) ® distributivité à droite [matrice de dimension ]
Soit , la matrice transposée de A notée ou est la matrice obtenue en écrivant les lignes de A en colonnes :
Si A a pour dimension alors a pour dimension .
(i)
(ii)
(iii)
(iv)