Une matrice dont le nombre de lignes est égal au nombre de colonnes est appelée matrice carrée. Si elle a pour dimension , on dit alors qu’elle est d’ordre n.
Rappelons que l’addition et la multiplication de matrices ne sont pas définies pour des matrices quelconques. Cependant, si on considère uniquement des matrices carrées d’ordre n donné, alors les opérations d’addition, de multiplication, de multiplication par un scalaire, et de transposition sont définies et leurs résultats sont encore des matrices carrées d’ordre n.
Exemple
Soient et . A et B sont des matrices carrées d’ordre 3.
Vérifier que , , et sont également des matrices carrées d’ordre 3. Réponse.
On appelle diagonale (ou diagonale principale) d’une matrice carrée d’ordre n, les éléments de la matrice.
Exemple
sont les éléments de la diagonale de A
Une matrice carrée est dite diagonale si tous ses éléments non diagonaux sont nuls. Une telle matrice est fréquemment notée où certains ou tous les scalaires peuvent être égaux à zéro.
Exemples
Une matrice carrée d’ordre n ne comportant que des 1 sur la diagonale principale et des 0 partout ailleurs, est notée et est appelée matrice unité ou matrice identité.
Exemple
Exemple
Remarque
On parle de « matrice scalaire » car elle joue le même rôle que celui d’un scalaire dans la multiplication d’une matrice par un scalaire : .
Une matrice carrée A, d’ordre n, est dite inversible ou non singulière, s’il existe une matrice carrée B d’ordre n telle que , Une telle matrice B est unique, d’ordre n ; on l’appelle matrice inverse de A et on la note .
Remarque
La relation précédente est symétrique, c’est-à-dire que si B est l’inverse de A, alors A est l’inverse de B.
Une matrice carrée est dite symétrique si et seulement si . Autrement dit si , .
Exemple
Une matrice triangulaire est une matrice carrée dont les éléments au-dessous (ou au-dessus) de la diagonale principale sont tous nuls.
Exemples
: Matrice triangulaire supérieure
: Matrice triangulaire inférieure
Une matrice carrée d’ordre n est dite orthogonale si
Exemple
Une matrice carrée d’ordre n est dite normale si , autrement dit si A et sa transposée commutent.
Remarque
Il est clair que si A est symétrique ou orthogonale, alors elle est normale. Mais il existe d’autres matrices normales.
Exemple