On suppose dans tout ce paragraphe que E est un espace vectoriel muni de la base et que F est un espace vectoriel muni de la base .
Soient . Soient et leurs matrices associées relativement aux bases et . Alors a pour matrice associée relativement aux bases et .
Exemple
Considérons deux applications linéaires f et g définies comme suit :
Calculer la matrice associée à l’application linéaire relativement à la base canonique de . Réponse.
Soit une application linéaire ayant M pour matrice associée relativement aux bases et . Soit , alors l’application linéaire a pour matrice associée relativement aux mêmes bases et .
Exemple
Déterminer la matrice associée à l’application linéaire relativement à la base canonique de , avec . Réponse.
Soient et . On suppose E, F et G munis respectivement des bases , et .Soit la matrice associée à f relativement aux bases et . Soit la matrice associée à g relativement aux bases et . Alors admet comme matrice associée relativement aux bases et .
Remarques
Exemple
Considérons deux applications linéaires f et g définies comme suit :
Déterminer la matrice de l’application linéaire relativement à la base canonique de . Réponse.
Soient une application bijective et son application réciproque.
Soit la matrice associée à f relativement aux bases et .
Alors la matrice associée à relativement aux bases et est où est la matrice inverse de .
Une application linéaire f est bijective si et seulement si sa matrice associée relativement à deux bases quelconques est inversible.
Exemple
Considérons l’application linéaire définie par :
Déterminer la matrice associée à . Réponse.
Une application linéaire f est bijective si et seulement si il existe des bases et telles que où est la matrice de f relativement aux bases et .