Applications linéaires et Matrices
6
Résolution d’un système linéaire
6.1 Quelques définitions
Définition 1
On appelle système linéaire un système (S) de n équations linéaires à p inconnues dans
qui s’écrit sous la forme :
où les coefficients
et
appartiennent à
, et où les
sont les inconnues à valeurs dans
, avec
(le nombre d’équations) et
(le nombre d’inconnues).
Définition
2 : Définition matricielle de (S)
Un système (S) quelconque peut s’écrire sous la forme abrégée :
ou sous la forme matricielle
avec
,
et
.
Exemple
Le système (S) suivant est un système linéaire de 3
équations à 4 inconnues
:
(S)
Définition 3 : Définition de (S) par les applications linéaires
• A est en fait la matrice d’une application linéaire
, où :
- E est un espace de dimension p (nombre d’inconnues de (S) = nombre de colonnes de A)
- F un espace de dimension n (nombre d’équations de (S) = nombre de lignes de A).
• B est la matrice des coordonnées d’un vecteur
• X est la matrice des coordonnées d’un vecteur
Alors l’écriture matricielle peut se mettre sous forme vectorielle :
6.2
Recherche des solutions de (S)
Si on considère l’expression vectorielle
,
la résolution du système (S) revient alors à chercher tous les
satisfaisant cette équation, le vecteur
étant connu a priori.
Deux cas peuvent alors se présenter :
(1)
et il admet au moins un antécédent dans E ; le système (S) a des
solutions ;
(2)
et le système (S) est impossible à
résoudre : il n’y a pas de solutions.
Ainsi (S) admet des solutions si et seulement si
.
Le nombre de solutions dépend alors de la nature de f :
• Si
et si f
non bijective, alors
(ceci est vrai uniquement si E et F ont même dimension).
Soit
tel que
.
Alors
.
Considérons
:
.
Donc
est solution de (S).
On montrerait de même que tout
vecteur
(
) est solution.
ð Si
et si f
non bijective, alors (S) admet une infinité
de solutions.
• Si
et f
bijective, alors nécessairement
(i.e.,
), et tout élément de F possède un antécédent unique dans E : (S) admet une seule et unique solution.
Exemple
Déterminer le nombre de solutions du système
. Réponse
6.3
Résolution de (S) par inversion de matrice
On se place dans le cas où
et f
bijective. Le système
admet alors une solution unique.
Or
.
f étant bijective,
et A
est inversible :
Exemple
Résoudre le système
. Réponse
Les systèmes linéaires s’utilisent par
conséquent pour inverser des matrices.
6.4
La méthode de Cramer
Définition
On appelle système de Cramer un système de n équations à n inconnues (
) dont la matrice est inversible (une solution unique), c’est-à-dire telle que
.
est appelé déterminant du système.
Proposition
Un système de Cramer admet toujours une et une seule solution :
(R)
Conséquences
D’après la relation (R),
on a :
étant le cofacteur associé à
,
avec
.
La première ligne de la relation (R) est :
è
n’est autre que le déterminant d’ordre n
obtenu en remplaçant dans
,
la première colonne par la matrice colonne B.
En effet :
en développant / 1ère colonne
en développant / 1ère colonne
Donc
,
et par généralisation, on obtient :
est le déterminant déduit de
en remplaçant la ième
colonne de
par la colonne des « seconds
membres »
.
Exemples
- Résoudre
par la méthode de Cramer le système
.
Réponse
- Résoudre
de deux façons différentes le système
.
Résolution par
inversion de matrice Résolution par la
méthode de Cramer
6.5
« Cas embêtants »
Les « cas embêtants » sont ceux pour lesquels,
soit
(pas de solution), soit
mais f
non bijective (une infinité de solutions).
Nous traiterons ces deux cas à partir de deux exemples.
Exemples
- Résoudre
. Réponse
- Résoudre
. Réponse