La matrice d’une application linéaire f est toujours construite relativement à un choix de bases dans E et dans F. Comment relier deux matrices qui représentent la même application linéaire lorsque l’on change de bases pour E et F ?
Soit E un espace vectoriel de dimension n muni de deux bases : et où est par convention l’ancienne base et la nouvelle base.
On pose . Ainsi les avec sont les coordonnées des de la base dans la base .
On appelle matrice de passage de la base à la base , la matrice notée P dont les colonnes sont constituées des coordonnées des vecteurs de la base dans la base .
Remarques
Une matrice de passage est toujours inversible.
Soit de coordonnées (les « anciennes » coordonnées) dans la base et de coordonnées (les « nouvelles » coordonnées) dans la base .
On note la matrice colonne des coordonnées de dans .
On note la matrice colonne des coordonnées de dans .
Il est facile de déterminer les relations entre les et les à l’aide de la matrice de passage P :
è On pourra retenir la petite phrase : « les anciennes = P les nouvelles ».
Exemple
On considère la matrice des coordonnées de dans la base canonique de . Soit une autre base de avec :
Calculer les coordonnées de dans la base . Réponse.
Soit une application linéaire.
Soient et deux bases de E.
Soient et deux bases de F.
On note P la matrice de passage de vers .
On note Q la matrice de passage de vers .
Si est la matrice de l’application f relativement aux bases et , alors la matrice de f relativement aux bases et est donnée par :
Soit , un endomorphisme de E, et , deux bases de E. Soient la matrice de f relativement à la base et la matrice de f relativement à la base . On a alors .
Exemple
Soit , une application linéaire dont la matrice relativement aux bases canoniques de et est .
Soit , la matrice de changement de base de l’exemple précédent.
Déterminer la matrice de l’application linéaire f dans la nouvelle base. Réponse.
On dit que deux matrices carrées A et B de même ordre sont semblables s’il existe une matrice P inversible telle que . Les matrices A, B, P ont même dimension.
Notation :
Soient A, B et C trois matrices carrées d’ordre n :
(i)
(ii) avec
(iii) Si et , alors
Conséquence
Dans le corollaire du paragraphe précédent, les matrices et sont semblables. Ainsi, deux matrices sont semblables si elles représentent la même application linéaire, mais dans des bases différentes.