On rappelle que dans ce chapitre I est un intervalle ouvert de .
Proposition 1 :
Soient f et g deux fonctions définies sur  et dérivables en .
, la fonction  est dérivable en  et .
Par extension, si f et g sont dérivables sur I,  la fonction  est dérivable sur I et .
Exemple :
Soit . f est définie sur .
D’après le paragraphe 3, il vient . Graphe.
Proposition 2 :
Soient f et g deux fonctions définies sur  et dérivables en .
Alors la fonction  est dérivable en  et .
Par extension, si f et g sont dérivables sur I,  est dérivable sur I et .
La démonstration de la proposition 2 se met de manière tout à fait analogue à celle de la proposition 1.
Exemple :
Soit la fonction définie sur  par .
Il vient . Graphe.
Proposition 3Â :
Soit g une fonction définie sur  et dérivable en .
Si , alors la fonction  est dérivable en  et .
Par extension, si g ne s’annule pas sur I, alors la fonction  est dérivable sur I avec
 .
Proposition 4Â :
Soient f et g deux fonctions définies sur  et dérivables en .
Si , alors la fonction  est dérivable en  et
.
Par extension, si g ne s’annule pas sur I, alors la fonction  est dérivable sur I avec
.
Proposition 5Â :
Soient  et  deux fonctions telles que .
Si f est dérivable en  et si g est dérivable en , alors  est dérivable en  et .
Par extension, si f est dérivable sur I et g dérivable sur J, alors  est dérivable est dérivable sur I et .
Proposition 6Â :
Soit  une fonction strictement monotone et dérivable en  tel que .
f est donc bijective de I sur J, et admet une fonction réciproque .
Alors  est dérivable en  et .
Par extension, si  ne s’annule pas sur I, alors  est dérivable sur J et .
Définitions 1 :
Soit . On note .
On suppose que la fonction  existe et est dérivable de I dans .
On définit alors la fonction .
·       Si la fonction  existe, on dit que f est n-fois dérivable sur I.
·        est appelée dérivée n-ième de f sur I.  est également notée  ou .
Remarques :
·       On utilise souvent les notations suivantes :  et .
·       On désigne générale  par dérivée première et  par dérivée seconde.
·       Si f est n-fois dérivable sur I, alors ,  est  -dérivable sur I, et en particulier continue si . Pour tout , on a alors .