Proposition :
Soit une fonction dérivable sur I. Soit , et différent des bornes.
Si f possède un extremum local en , alors .
Remarque :
Le terme d’extremum local s’emploie lorsque la notion d’extremum n’est valable que dans un intervalle .
! Attention ! La réciproque de la proposition précédente est fausse.
On s’intéresse ici à une fonction avec .
A. Chercher le domaine de définition de f.
B. Chercher les symétries éventuelles (fonction paire ou impaire ainsi que symétrie par rapport à la droite ). De telles symétries permettent de réduire l’intervalle d’étude.
C. Rechercher, quand c’est simple, les points particuliers de la courbe, c’est-à-dire correspondant à ou .
D. Déterminer le sens de variation de f.
Pour cela on utilise les propriétés de paragraphe 6.1.1 en calculant la dérivée de f.
Etudier le signe de . Rechercher les extremums : .
Rechercher les points à tangente particulière : ou .
E. Calculer si possible la dérivée seconde . Rechercher les points d’inflexion (changement de signe de ), et repérer les domaines de convexité et de concavité de la courbe représentative.
F. Dresser le tableau de variation de f résumant les résultats précédents.
Compléter le tableau en cherchant les limites de aux bornes des intervalles, et lorsque .
G. Rechercher les asymptotes parallèles aux axes ou obliques, préciser la position du graphe par rapport aux asymptotes.
H. Tracer le graphe en utilisant éventuellement les éléments de symétrie ou de périodicité.
Étudier les variations de la fonction définie par . Tracer le graphe.
Ce paragraphe est traité d’un point de vue pratique en s’inspirant de l’ouvrage de Misset et al (p134).
Soit la fonction définie sur par . Montrer que l’équation admet une unique solution dans , et déterminer un encadrement à près de cette solution.
Pour répondre à la question précédente, trois étapes sont nécessaires :
(i) Etudier les variations de la fonction f ;
(ii) Montrer qu’il existe un intervalle sur lequel f est dérivable et strictement monotone, et tel que . Montrer simultanément que sur ;
(iii) Déterminer un encadrement de la solution à l’aide d’une calculatrice (ou d’un ordinateur !).