Que f soit une fonction trigonométrique ou hyperbolique, le principe de calcul de ce type d’intégrales reste le même. Le changement de variable utilisé va dépendre de la parité de p, q.
Exemple 27 :
? Calculer                                                                                        Réponse
On cherche ici à calculer des intégrales de la forme suivante :
 où  est une fraction rationnelle
« Règles de Bioche »
Les règles de Bioche consistent à trouver le changement de variable par lequel la fonction  reste invariante (attention de ne pas oublier le  ). On est alors ramené au cas d’une fraction rationnelle (§4.5).
Cas n°1 : « invariance du cosinus »
 reste invariante par le changement de variable .
On pose
Exemple :
Cas n°2 : « invariance du sinus »
 reste invariante par le changement de variable .
On pose
Exemple :
Cas n°3 : « invariance de la tangente »
 reste invariante par le changement de variable .
On pose
Exemple :
Cas général
En cas d’échec des changements de variables précédents, la méthode générale consiste à poser . On est alors ramené aux cas du paragraphe 4.5.
                            Â
Exemple :
Cas particulier
Notons qu’il est parfois commode de transformer  en  à l’aide du changement de variable .