Primitives – Intégration

3         Intégrales et inégalités

3.1         Valeur moyenne d’une fonction sur un intervalle

Définition :

Soit f une fonction continue sur  (  ). On appelle valeur moyenne de f sur , le réel .

 

Interprétation graphique :

Dans le cas d’une fonction positive, la valeur moyenne d’une fonction est le réel µ tel que l’aire du rectangle de hauteur µ et de base (b-a) (rose + violet) soit égal à l’aire sous la courbe (rose + bleu).

Les aires des domaines D1 (bleu) et D2 (violet) sont identiques.

Exemple 13

 

Théorème (théorème de la moyenne) :

Soit f une fonction continue sur  (  ). Il existe  tel que :

           

3.2       Inégalités de la moyenne

Propositions :

Soit f une fonction admettant des primitives sur .

(i)                  Si , alors .

(ii)                Si , alors .

Démonstration

 

Interprétation graphique :

Voir figure ci-dessous

Dans le cas d’une fonction positive sur  et , l’inégalité de la moyenne (i) traduit le fait que l’aire du domaine D (     +     ) comprise entre l’aire du rectangle de hauteur m et de base (b – a) (     ), et l’aire du rectangle de hauteur M et de même base (     ).

 

Remarque :

L’inégalité de la moyenne (i) correspond en fait à l’inégalité des accroissements finis appliquée à l’intégrale fonction de sa borne supérieure, définie par .

3.3       Valeur absolue d’une intégrale

Proposition :

Soit f une fonction continue sur . On a alors :

.