Chapitre Complémentaire 2 : Suites numériques

10   Exemples d’application en biologie

10.1     Le modèle Prédateur-Proie

Cet exemple permet de mettre l'accent sur une application concrète des suites numériques, au travers de la modélisation d'une situation réelle.

Depuis le milieu du XIX^ème siècle, la compagnie de la baie d'Hudson a pu évaluer à partir de statistiques sur les fourrures récupérées, l'évolution respective de la population du lynx du Canada et celle du lièvre variable.

 

Le graphique suivant donne les résultats obtenus par la compagnie :

Les scientifiques se sont interrogés sur la forme de ces résultats.

·        D'où viennent les oscillations observées ?...

·        Comment expliquer que ces oscillations soient légèrement décalées ?...

Incontestablement, ces résultats sont trop particuliers pour être le fruit du hasard.

 

Rapidement, les scientifiques ont constaté que le lièvre variable était la proie principale du lynx. Est-ce là l'explication recherchée ?... Cela n'est qu'une hypothèse et sans doute beaucoup d'autres explications pourraient être proposées : seule une étude scientifique doit permettre de lever cette incertitude.

 

Des chercheurs en écologie ont décidé de construire un modèle mathématiques permettant de prédire l'évolution des effectifs de lynx et de lièvres, en partant du principe que seule l'interaction prédateur-proie avait une influence sur ces évolutions. En particulier, ils ont considéré comme négligeables, les variations du climat, la présence éventuelle d'autres proies ou d'autres prédateurs, ou encore les effets des maladies ou du parasitisme. Si ce modèle arrivait à prédire les observations faites dans le milieu naturel, alors l'interaction prédateur-proie serait bien la principale explication des variations observées.

 

Voir le site du CRDP de Grenoble pour la suite…

10.2    La réintroduction du Vautour Fauve

Le vautour fauve (Gyps fulvus)

Cet exemple est une application des suites récurrentes à la modélisation de l'évolution d'une population animale.

Dans le Vercors, un projet de réintroduction du vautour fauve a été voté par les communes. Une équipe scientifique a été chargée de mener une étude. Ce travail doit permettre de déterminer le nombre de vautours à lâcher pour qu'une population stable s'établisse dans le Vercors.

Voir le site du CRDP de Grenoble pour la suite…

 

10.3    Un exemple sous forme d’exercice

Solution

Toutes les heures, on injecte à un sujet, une même dose de 1,8 unités, d’une substance médicamenteuse dans le sang.

Les injections sont faites par piqûre intraveineuse.

On suppose que la substance se répartit instantanément dans le sang et qu’elle est ensuite progressivement éliminée.

En l’espace d’une heure, la quantité de cette substance présente dans le sang diminue de 30 %.

La première injection se fait à .

Pour , on note  la quantité de substance présente dans le sang à l’instant  (en heures), dès que la nouvelle injection est faite.

(1°)      a) Justifier l’égalité .

            b) Exprimer  en fonction de , puis calculer .

(2°) Pour , exprimer  en fonction de .

(3°) Montrer par récurrence que, pour , on a .

(4°) Donner une approximation au dixième près de la quantité de substance présente dans le sang à l’instant .

(5°) Déterminer la limite de la suite .