Définition :
Soit r un réel. La suite réelle
est une suite (ou progression) arithmétique de raison r si et seulement si la différence de deux termes consécutifs quelconques de la suite est égale à r :
Définition :
Soit r un réel. La suite réelle
est une suite (ou progression) arithmétique de raison r si et seulement si la différence de deux termes consécutifs quelconques de la suite est égale à r :
Chaque terme de la suite est la moyenne arithmétique des deux termes qui l’entourent, d’où la dénomination « suite arithmétique ».
Exemples :
·
La suite de tous les entiers naturels, définie par
est une suite arithmétique de raison 1.
·
La suite de tous les entiers naturels impairs, définie par
est une suite arithmétique de raison 2 et de premier terme 1.
Propriétés :
·
· Toute suite arithmétique de raison strictement positive est croissante.
· Toute suite arithmétique de raison strictement négative est décroissante.
·
La somme
des n premiers termes de la suite est donnée par :
Exemple : La somme des n premiers entiers naturels non nuls est la somme des n premiers de la suite arithmétique de raison 1 et de premier terme 1. On a donc :
Théorème :
Soit
une suite arithmétique de raison r.
Si r est nul, la suite est constante ; elle est donc convergente.
Si r est non nul, la suite est divergente :
Si
, alors
Si
, alors
Définition :
Soit q un réel non nul. La suite réelle
est une suite (ou progression) géométrique de raison q si et seulement si chaque terme, à partir du second, est égal au produit par q de celui qui le précède :
Chaque terme est donc la moyenne géométrique des deux termes qui l’entourent, d’où la dénomination « suite géométrique».
Exemples :
La suite
est une suite géométrique de raison
1.
La suite
est une suite géométrique de raison 2.
Propriétés :
·
· Toute suite géométrique de raison strictement positive est monotone.
·
Soit
la suite des n premiers termes d’une suite géométrique/
Si
, on a
.
Si
, on a
.
Exemple :
La somme
est la somme des n premiers termes de la suite géométrique de raison 2 et de premier
terme 1. On a donc
.
Proposition :
Si l’on a
, alors on a
Si l’on a
, alors on a
Théorème :
Soit
une suite géométrique de raison q et de premier terme
non nul.
·
Si
, la suite est constante et, par suite, convergente.
·
Si
, la suite est divergente.
·
Si
, la suite est divergente.
·
Si
, la suite est convergente.
Théorème :
Soit
une suite géométrique de raison q et de premier terme
non nul.
Soit
la somme des n premiers termes de cette suite.
Si l’on a
, alors on a
.
Exemple :
On a
.