Définition : Une fraction rationnelle se présente sous la forme
où
et
sont des polynômes à coefficients dans
ou
.
Définition : Une fraction rationnelle se présente sous la forme
où
et
sont des polynômes à coefficients dans
ou
.
Si
,
on peut effectuer la division euclidienne de
par
suivant les puissances décroissantes pour
faire apparaître une partie entière, qui est un polynôme en x, et une
nouvelle fraction rationnelle
où
.
On effectue dans ce cas une décomposition en éléments simples de
.
Si
,
et
étant l’ordre de multiplicité de la racine
réelle
,
celui des deux racines complexes conjuguées
de
avec
,
alors :
avec
et
.
Les sommes sont prises pour chacune des racines réelles et complexes.
Cette décomposition s’appelle la décomposition en
éléments simples de la fraction rationnelle
.
On parle de décomposition en éléments simples de première espèce si
toutes les racines sont réelles, et de décomposition en éléments simples de seconde
espèce si toutes les racines sont complexes.
Exemple :
Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle suivante :
Alors
En remettant les trois termes au même dénominateur et en identifiant terme à terme avec la fraction, on obtient finalement :