Polynômes. Fractions rationnelles

7         Division des polynômes suivant les puissances décroissantes ou division euclidienne

Soient deux polynômes de degré respectif n et p (  ) :

 

 

On appelle quotient et reste de la division euclidienne de A par B, les polynômes Q et R tels que :

 

On a . A est appelé dividende ; B est appelé diviseur.

On dit que A est divisible par B si . Si Q et R existent, alors ils sont uniques.

Recherche du quotient et du reste :

Nous allons voir qu’il existe une règle de recherche du quotient et du reste de la division euclidienne de A par B.

Pratiquement on dispose le dividende et le diviseur (ranger selon les puissances décroissantes de x) comme dans une division arithmétique. On effectue la division du terme de degré n du polynôme A par celui de degré p du polynôme B. On obtient un polynôme .

On multiplie le diviseur par  et on retranche ce produit au dividende. La différence ainsi obtenue est le polynôme  sur lequel on recommence l’opération jusqu’à ce que qu’on arrive à une différence de degré inférieur à celui du diviseur. Cette dernière différence constitue le reste.

 

Exemple : Diviser  (dividende) par  (diviseur).

 

 

 

Le quotient de la division euclidienne de  par  est donc  et le reste  (puisque de degré inférieur au diviseur).