Soient deux polynômes de degré respectif n et p
( ) :
On appelle quotient et reste de la division euclidienne de A par B, les polynômes Q et R tels que :
On a .
A est appelé dividende ; B est appelé diviseur.
On dit que A est divisible par B si .
Si Q et R existent, alors ils sont uniques.
Recherche du quotient et du
reste :
Nous allons voir qu’il existe une règle de recherche du quotient et du reste de la division euclidienne de A par B.
Pratiquement on dispose le dividende et le diviseur (ranger
selon les puissances décroissantes de x) comme dans une division
arithmétique. On effectue la division du terme de degré n du polynôme A
par celui de degré p du polynôme B. On obtient un polynôme .
On multiplie le diviseur par et on retranche ce produit au dividende. La
différence ainsi obtenue est le polynôme
sur lequel on recommence l’opération jusqu’à
ce que qu’on arrive à une différence de degré inférieur à celui du diviseur.
Cette dernière différence constitue le reste.
Exemple : Diviser (dividende) par
(diviseur).
Le quotient de la division euclidienne de par
est donc
et le reste
(puisque de degré inférieur au diviseur).