Chapitre Complémentaire 4 :

Développements limités et Applications

2         Formule de Mac Laurin

Dans le cas particulier où , on a pour tout  :

 

avec , et où la quantité  est appelé reste de Lagrange.

Cette formule est un cas particulier de celle de Taylor dans laquelle on prend  et .

 

Exemple :

Reprenons la fonction . Pour  et , on obtient la formule de Mac Laurin à l’ordre 5 (  ) suivante :

 

 

Cas particulier

Si f est un polynôme de degré n,  est la fonction nulle, le reste est donc nul ; pour , on a :

                 

et on retrouve la formule du binôme de Newton :

 

 

En outre, lorsque , le reste  du cas général peut s’écrire , où  lorsque . C’est le « reste de Young ».