Définition :
Une fonction
définie au voisinage de
admet un développement limité d’ordre n, s’il existe un polynôme de degré n
tel que
où
tend vers 0 lorsque
.
est la partie régulière du
développement,
est le terme complémentaire ou reste,
que l’on peut noter
(notation de Landau).
est infiniment petit par rapport à
.
Remarque : Posons
.
Lorsque
,
.
On peut donc se ramener à un développement limité au voisinage de 0. Dans la
suite, nous nous limiterons donc aux développements limités au voisinage de 0.
1) Unicité
Une fonction ne peut admettre qu’un seul développement limité d’ordre n donné.
2) Somme
Si
et
admettent des développements limités d’ordre n,
admet un développement limité dont la partie
régulière est la somme des parties régulières de
et
.
3) Produit
La partie régulière du développement limité à l’ordre n
de
se compose des termes de plus haut degré au
plus égal à n du produit des parties régulières de
et
.
4) Quotient
La partie régulière du développement limité à l’ordre n
de
s’obtient en divisant suivant les puissances
croissantes la partie régulière du développement de
par celle de
jusqu’à l’ordre n (en supposant
).
Conséquences :
Si
et
,
alors :
·
·
avec
·
avec
si
et
La formule de Mac Laurin relative à une fonction
satisfaisant aux conditions de Taylor et dans
un intervalle contenant 0 est :
avec
Or le reste de Lagrange
peut aussi s’écrire :
et puisque
est bornée (
), la quantité entre crochets tend vers 0
avec x.
La formule de Mac Laurin
donne donc le développement limité à l’ordre n de
en 0 ; et
,
avec
,
est le reste.
Vous trouverez dans le formulaire des développements
limités, les D.L. des fonctions les plus usuelles, en particulier celui de
.
Autres exemples largement usités :
D’où :
Pour
et en donnant successivement à m les
valeurs
et
,
il vient :
Le changement de
en
donne :
Enfin pour
et en remplaçant
par
:
D’une façon générale, on a
:
Exemples :
· Somme de deux développements limités :
On garde le plus grand des o.
· Produit de deux développements limités :
On en déduit
· Inverse d’un développement limité :
On veut calculer le développement de
à l’origine à l’ordre 7.
On sait que
.
On pose
avec
.
On utilise ensuite le développement limité
.
On trouve
et
.
On obtient finalement
Si
admet un développement limité d’ordre n
au voisinage de
,
et si
admet un développement limité d’ordre
au voisinage de
,
étant égal à
,
alors la fonction
admet un développement limité d’ordre p
pour
.
Exemple :
Supposons
et
.
Posons
.
On trouve
,
puis
et
.
On en déduit le développement limité de
à l’ordre 4 à l’origine :
Si
continue dans
admet un développement limité d’ordre n
pour
,
la fonction
admet pour
un développement limité d’ordre
dont la partie régulière est obtenue en
intégrant la partie régulière du développement limité de
.
Exemple :
Soit
,
alors
.
On en déduit
.
Si
est indéfiniment dérivable sur
et si
,
admet un développement limité d’ordre
qui s’obtient par dérivation terme à terme de
celui de
à l’ordre n.
Exemple :
On sait que
.
Par dérivation, on en déduit
.
Une nouvelle dérivation donne
.
En effet
et
.
Par application de la formule de Mac Laurin à l’origine, on
obtient le développement limité de
,
et
.
Le développement limité de
s’obtient par division selon les puissances
croissantes du développement de
par le développement de
.
De même pour le développement limité de
.
En partant de la formule du binôme généralisé, et pour
,
on obtient par intégration les développements limités de
,
,
,
et
.