Pour comparer deux réels, on peut procéder de trois manières différentes :
(1) On peut étudier le signe de leur différence :
(2) S’ils sont strictement positifs, on peut comparer leur quotient à 1 :
(3) On peut utiliser les variations des fonctions usuelles (voir chapitre 1, paragraphe 5)
Il suffit dans ce cas de majorer A ou B :
Si , alors
Si et , alors
On suppose ici que et que . Pour majorer le quotient , il suffit de majorer le numérateur A ou de minorer le dénominateur B par un nombre réel strictement positif :
Si , alors
Si , alors
Définition :
Pour toutes fonctions et , signifie que .
Définitions :
Soit .
· On dit que f est majorée, s’il existe un réel M tel que . Dans ce cas, on appelle borne supérieure de f sur l’intervalle I, noté , le plus petit majorant de f.
· On dit que f est minorée, s’il existe un réel m tel que . Dans ce cas, on appelle borne inférieure de f sur l’intervalle I, noté , le plus grand minorant de f.
· On dit que f est bornée, si f est à la fois majorée et minorée. f est donc bornée s’il existe deux réels M et m tels que .
Remarques : Soient et .
(i) f est bornée si et seulement si est majorée.
(ii) Si f et g sont majorées, alors est majorée :
(iii) Si f et g sont minorées, alors est minorée :
(iv) f est majorée (respectivement minorée) si et seulement si est minorée (resp. majorée) : (resp. ).
(v) Soit un réel . Si f est majorée (respectivement minorée), alors est majorée (respectivement minorée) : ( ).
(vi) Si f et g sont bornées, alors , est bornée.
Exemple :
Soit la fonction définie sur par .
f est-elle bornée ? Si oui, quelles sont ses bornes inférieure et supérieure ? Réponse
Définition :
Soit . Soit .
· On dit que f présente un maximum global en si .
· On dit que f présente un minimum global en si .
· Dans l’un de ces deux cas, on dit que f présente un extremum global en .