Définitions :
Soit f une fonction définie sur . Soit .
· On dit que f est continue en si et seulement si , c’est-à-dire si :
tel que et
· f est continue à droite (resp. à gauche) si on rajoute la condition (resp. ).
Conséquences :
· f est continue en si et seulement si f est continue à droite et à gauche en .
· f est continue sur I si et seulement si f est continue en tout point de I.
Propositions 1 :
Soient f et g deux fonctions définies sur et continues en (resp. sur I).
(i) , est continue en (resp. sur I).
(ii) Si , alors est continue en (resp. sur I).
(iii) Si , alors est continue en (resp. sur I).
Exemples :
Toute fonction constante est continue sur .
Les fonctions polynomiales sont continues sur .
Remarques :
Pour démontrer qu’une fonction est continue, il suffit souvent de vérifier qu’il s’agit d’un « mélange » de fonctions continues classiques, et les propositions précédentes ainsi que la suivante s’appliquent.
Proposition 2 :
Soient f et g deux fonctions définies sur . Si f est continue en (resp. sur I) et g continue en , alors est continue en (resp. sur I).
La démonstration de cette proposition découle directement de celle du théorème 1.4.
Si f est une fonction définie sur et si , on dit que g est un prolongement par continuité de f en si et seulement si et .
Théorème :
Soit f continue sur I. Soient a et b deux éléments de I tels que . Alors, en supposant que , pour tout y tel que , il existe au moins un élément tel que .
Corollaire 1 :
Soit f continue sur . Si , alors tel que .
Exercice
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Une personne parcourt à vélo une distance de 20 km en une heure. Montrer qu’il existe un intervalle de temps d’une demi-heure pendant lequel elle parcourt exactement 10 km. |
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Corollaire 2 :
L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle.
! Attention :
Si I a pour bornes a et b, celles de ne sont pas nécessairement et .
Théorème :
Si est continue et strictement monotone sur I, alors f réalise une bijection de I sur J. De plus, la fonction réciproque , de J vers I, est continue et strictement monotone (avec la même monotonie que f).
Remarques :
· Les courbes représentatives de f et sont symétriques l’une de l’autre dans la symétrie par rapport à la droite parallèlement à la droite ; si le repère est orthonormé, il s’agit de la symétrie orthogonale par rapport à la droite .
· Le théorème des valeurs intermédiaires montre l’existence d’une solution à l’équation . Le théorème de la bijection réciproque en assure l’unicité.
