â Une première piste…[extrait de http://chronomath.irem.univ-mrs.fr/]

« En 1872, Cantor présente une construction rigoureuse, définitive, des nombres réels au moyen des classes d'équivalence de suites de Cauchy dans , améliorant celle, semblable, du français Meray. La même année, Dedekind publiait sa construction par les coupures.

 le terme de nombre réel n'était pas utilisé à cette époque : on parlait de grandeur numérique chez Cantor et simplement de nombre irrationnel chez Dedekind. L'appellation nombre réel apparaît chez Cantor en 1883 dans ses Grundlagen.

En 1873, afin de prouver que l'ensemble R des nombres réels est non dénombrable (le terme est de lui : i.e. on ne peut établir de bijection entre R et N), Cantor fit appel à un procédé, appelé aujourd'hui diagonale de Cantor , sorte de crible, montrant par épuisement des nombres entiers, l'impossibilité d'établir cette bijection. ».

 

â Une deuxième piste

Démonstration du théorème des valeurs intermédiaires

Cette démonstration suppose acquise la construction de  et la notion de borne supérieure (voir remarque).

Soit f continue sur I.

Soient a et b deux éléments de I tels que .

Soit y tel que .

·        On pose  et .

On peut supposer que  (dans le cas contraire, le raisonnement reste le même).

·        On pose .

Comme , on a     (car

                                                           E est majoré par b

Donc, comme toute partie non vide et majorée de  admet une borne supérieure, on en déduit l’existence de .

·        D’après les propriétés des bornes supérieures,  telle que .

Comme f est continue, on en déduit que .

Or ,  donc  et ainsi  (cf. proposition 4, § 1.3, chap 2).

·        Si  alors

$$$ à suivre $$$