On rappelle que dans ce chapitre I est un intervalle ouvert de .
Une fonction est dite convexe si son graphe à la forme suivante : courbe (C).
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Les coordonnées des différents points de la courbe sont :
avec |
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La convexité de f signifie que pour tout , l’ordonnée de N est inférieure ou égale à celle de M.
Lorsque h décrit , N parcourt l’arc , tandis que M parcourt la corde .
Ainsi, dire que f est convexe signifie que pour tous les points de la courbe entre A et B, la corde est « au-dessus » de l’arc .
Propositions 1 :
(1) tels que ,
(Inégalité des trois points)
(2) , définie par est croissante.
Ces propositions sont équivalentes à la définition.
Définition 2 :
est dite concave si est convexe.
Proposition 2 :
Les fonctions affines définies sur par , dont la courbe représentative est une droite, sont à la fois convexes et concaves sur .
Proposition 3 :
Soient , , …, des fonctions définies de I dans , et convexes sur I. Alors tous strictement positifs, la fonction définie de I dans , est aussi convexe.
Proposition 4 (caractérisation de la convexité par la dérivée première) :
Soit dérivable. Alors f est convexe si et seulement si est croissante sur I.
Conséquence (tangente à la courbe d’une fonction convexe) :
Soit dérivable et convexe. Alors pour tout , on a :
,
Autrement dit, la courbe représentative de f est partout au-dessus des tangentes.
Proposition 5 (caractérisation de la convexité par la dérivée seconde) :
Soit deux fois dérivable. Alors f est convexe si et seulement .
Exemple :
Considérons à nouveau la fonction définie sur par .
sur tout entier.
Définition 3 :
Soient deux fois dérivable et , différent des bornes. On dit que est un point d’inflexion si s’annule et change de signe au point ;
On dit que la courbe représentative de f « traverse » la tangente au point .
