Définition :
Soit f une fonction continue sur ( ). On appelle valeur moyenne de f sur , le réel .
Interprétation graphique :
Dans le cas d’une fonction positive, la valeur moyenne d’une fonction est le réel µ tel que l’aire du rectangle de hauteur µ et de base (b-a) (rose + violet) soit égal à l’aire sous la courbe (rose + bleu).
Les aires des domaines D1 (bleu) et D2 (violet) sont identiques.
Théorème (théorème de la moyenne) :
Soit f une fonction continue sur ( ). Il existe tel que :
Propositions :
Soit f une fonction admettant des primitives sur .
(i) Si , alors .
(ii) Si , alors .
Interprétation graphique :
Dans le cas d’une fonction positive sur et , l’inégalité de la moyenne (i) traduit le fait que l’aire du domaine D ( + ) comprise entre l’aire du rectangle de hauteur m et de base (b – a) ( ), et l’aire du rectangle de hauteur M et de même base ( ).
Remarque :
L’inégalité de la moyenne (i) correspond en fait à l’inégalité des accroissements finis appliquée à l’intégrale fonction de sa borne supérieure, définie par .
Proposition :
Soit f une fonction continue sur . On a alors :
.