(http://handy.univ-lyon1.fr/service/cours/info_deug/deug.int/semestr.1/equadiff/equa.html)
La notion d'équation différentielle apparaît chez les mathématiciens à la fin du XVIIème siècle. Encouragé par Huygens à étudier les mathématiques, Leibniz sera l'inventeur en 1686, en même temps que Newton, du calcul différentiel et intégral (Nova methodus pro maximis et minimis, 1684-86).
· A cette époque, les équations différentielles s'introduisent en mathématique par le biais de problèmes d'origine mécanique ou géométrique, comme par exemple :
- Mouvement du pendule circulaire,
- Problème du mouvement de deux corps s'attirant mutuellement suivant la loi de la gravitation Newtonnienne.
- Problème de l'étude de mouvements de corps "élastiques" (tiges, ressorts, cordes vibrantes).
- Problème de l'équation de la courbe (appelée chaînette) décrivant la forme prise par une corde, suspendue aux deux extrémités et soumise à son propre poids ; beaucoup pensaient à tort que c'était une parabole, mais ce problème fût résolu en 1691 par Bernouilli.
· Vers 1700, beaucoup de ces problèmes étaient déjà partiellement ou totalement résolus et quelques méthodes de résolution mises au point. Ensuite, les mathématiciens se sont progressivement intéressés à des classes de plus en plus larges d'équations différentielles. Assez curieusement, les équations différentielles linéaires à coefficients constants sans deuxième membre, qui apparaissent maintenant comme les plus simples, ne furent résolues qu'en 1739 par Euler. Il ne faut pas oublier que, pour les mathématiciens de cette époque, le maniement de la fonction exponentielle n'était pas encore familier.
â Dans la phase que nous venons de décrire, les mathématiciens s'attachent au calcul effectif d'une solution, à l'aide de ce que nous appelons maintenant les fonctions élémentaires, ce que nous allons faire dans ce chapitre 6.
· Vers 1870 Fuchs, puis Poincaré, vont inaugurer un nouveau champ de recherche. Le calcul effectif des solutions est la plupart du temps impossible, mais on peut chercher à déduire de l'examen a priori de l'équation les propriétés des solutions.
· Enfin, le développement moderne des moyens de calcul ajoute à cette panoplie la possibilité de calculer numériquement, dans un temps raisonnable, des solutions approchées très précises d'équations différentielles ou d'explorer les propriétés que l'on peut attendre des solutions.
â Dès le début du XXième siècle, les équations différentielles ont trouvé de nombreuses applications dans les Sciences de la Vie, lorsqu’est apparue la nécessité de relier le sujet biologique réel et la représentation qu’on en donne à travers un objet mathématique, que l’on appelle un modèle mathématique. Par exemple en démographie, les équations différentielles sont utilisées pour décrire l’évolution de la taille de la population d'un pays qui présente les caractéristiques suivantes : par an, le taux de renouvellement est de 20 pour 1000 habitants, et le taux de mortalité est de 15 pour 1000 habitants. Nous reviendrons sur la formalisation mathématique de ce problème à la fin du paragraphe 2.