Etant donné un ensemble E de n objets, on appelle arrangements de p objets toutes suites
ordonnées de p objets pris parmi les n objets.
Le nombre d’arrangements de p objets pris parmi n est noté : .
| Remarque : |
On a nécessairement 1 £ p £ n et n, p Î N* |
| Si n < p, alors = 0 |
Deux arrangements de p objets sont donc distincts s’ils diffèrent par la nature des objets qui les composent ou par leur ordre dans la suite.
Exemples :
(1) Une séquence d’ADN est constituée d’un enchaînement de 4 nucléotides [A (Adénine), C (Cytosine), G (Guanine) et T (Thymine)].
Il existe différents arrangements possibles de deux nucléotides ou dinucléotides avec p=2 et n=4.
(2) Le nombre de mots de 5 lettres (avec ou sans signification) formés avec les 26 lettres de l’alphabet correspond au nombre d’arrangements possibles avec p=5 et n=26.
(3) Le tiercé dans l’ordre lors d’une course de 20 chevaux constitue un des arrangements possibles avec p=3 et n=20.
Dans les exemples précédents, l’ordre des éléments dans la suite est essentiel. Ainsi pour le deuxième exemple, le mot NICHE est différent du mot CHIEN.
Mais dans les deux premiers exemples, une base ou une lettre de l’alphabet peut se retrouver plusieurs fois alors que dans le troisième exemple, les trois chevaux à l’arrivée sont forcément différents. Il faut donc distinguer le nombre d’arrangements avec répétition et le nombre d’arrangements sans répétition (arrangements au sens strict).
Lorsqu'un objet peut être observé plusieurs fois dans un arrangement, le
nombre d’arrangement avec répétition de p objets pris parmi n, est alors :
avec 1 £ p £ n
|
Voici pourquoi : Pour le premier objet tiré, il existe n manières de ranger l’objet parmi n. Pour le second objet tiré, il existe également n possibilités d’arrangements car le premier objet fait de nouveau parti des n objets. On parle de tirage avec remise. Ainsi pour les p objets tirés, il y aura n x n x n x…..x n (p fois) arrangements possibles, soit |
Exemples :
(1) Concernant l’exemple de la séquence d’ADN, le nombre de dinucléotides attendus si l’on fait l’hypothèse qu’une base peut être observée plusieurs fois dans la séquence (ce qui correspond effectivement à la réalité) est donc : 42 = 16 dinucléotides possibles
Les 16 dinucléotides identifiables dans une séquence d’ADN sont :
| AA | AC | AG | AT | CA | CC | CG | CT |
| GA | GC | GG | GT | TA | TC | TG | TT |
(2) Quand est-il du nombre de mots de 5 lettres formés avec les 26 lettres de l’alphabet ? Réponse.
Lorsque chaque objet ne peut être observé qu’une seule fois dans un arrangement, le
nombre d’arrangements sans répétition de p objets pris parmi n est alors :
avec 1 £ p £ n
|
Voici pourquoi : Pour le premier objet tiré, il y a n manières de ranger l’objet parmi n. Pour le second objet tiré, il n’existe plus que n-1 manières de ranger l’objet car le premier objet ne peut plus être pris en compte. On parle de tirage sans remise. Ainsi pour les p objets tirés parmi n, si 1 £ p £ n, il y aura : (p produits) de plus d’où |
Rappel : Si n Î N*, on appelle factorielle n, notée n! , le produit des n premiers entiers :
0! =1 par convention car 0! n’est en principe pas définie.
§ Dès que n dépasse la dizaine, n! se compte en millions. Il est bon de connaître la formule d’approximation suivante (« formule de Stirling ») :
Exemples :
(1) Concernant l’exemple de la séquence d’ADN, le nombre de dinucléotides attendu dans une séquence si l’on fait l’hypothèse qu’une base n’est observée qu’une seule fois est donc : 12 dinucléotides possibles
Sous cette contrainte, les 12 dinucléotides possibles sont :
| AA | AC | AG | AT | CA | CC | CG | CT |
| GA | GC | GG | GT | TA | TC | TG | TT |
Ceci correspond aux 16 arrangements possibles avec répétition ( ) auxquels sont soustraits les 4 dinucléotides (n) résultant de l’association d’une même base.
(2) Quand est-il du nombre de tiercés possibles dans l’ordre lors d’une course de 20 chevaux ? Réponse.