Variance de la somme de deux v.a. X et Y

statistiquement indépendante

 

 

V(X+Y) = E[(X+Y)² ] – [E(X+Y)] ²                        Définition de la variance

V(X+Y) = E[X ²+2XY+Y ² ] – [E(X)+E(Y)] ²

V(X+Y) = E(X ²)+2 E(XY)+ E(Y ² ) – [E(X) ²+2 E(X)E(Y)+ E(Y) ²]

V(X+Y) = [E(X ²) - E(X) ²] +2 [E(XY) - E(X)E(Y)]+ [E(Y² ) –E(Y) ²]

or si X et Y sont indépendantes E(XY) = E(X)E(Y)

d’où V(X+Y) = [E(X ²) - E(X) ²] + [E(Y² ) –E(Y) ²] = V(X) + V(Y)

                              V(X+Y) = V(X) + V(Y)