Chapitre 9 : Analyse de Variance

5      Synthèse et exercices

5.1              Synthèse des éléments essentiels du chapitre

Objectif de l’analyse de variance : Tester l’effet d’un facteur A (variable quantitative contrôlé ou qualitative) avec p modalités sur une variable aléatoire Y avec n_i,  nombre de répétitions y_ij pour chaque modalité i de A.

 

Hypothèse :    Pas d’effet du facteur  A               Effet du facteur A en moyenne

                            H₀ : m₁ =...= m_i =.. = m_p= m            H₁ :      $  m_i ¹ m_j

Modèle :            y_ij = m + e_ij                                  y_ij = m + a_i + e_ij       avec e_ij   ® N(0, s)

Conditions d’application :             Indépendance des p distributions

             Normalité de la variable étudiée

                                                            Homoscédasticité des p distributions

Décomposition de la variation totale :

                             

                                      SCE_totale               SCE_inter                 SCE_intra

Rapport de corrélation :

            h² =

Tableau de variation : 

Sources de variation	Degrés de liberté	Somme des Carrés des Ecarts	Carré Moyen	Test de Fisher-Snédécor
Totale	N - 1	SCETOT
Facteur	p - 1	SCEinter	CMinter= SCEinter / (p-1)
Résiduelle	N - p	SCEintra	CMintra= SCEintra / (N-p)

 

         F_obs comparée à F_seuil pour p-1 et N - p degrés de liberté et le risque a.

Formules développées :

SCE_TOT  =               avec   et

SCE_inter  =                      avec   

SCE_intra  =        ou          SCE_intra =  SCE_TOT -  SCE_inter

 

5.2            Exercices d’application

Exercice 1 :   On a ensemencé des boites de Pétri avec des spores du genre Penicillium. 4 milieux nutritifs ont été utilisés. Au bout d’un temps identique on a mesuré le diamètre des colonies (Tableau ci-dessous). La nature du milieu nutritif a-t-il un effet sur la taille des colonies de spores ? Réponse.

A	B	C	D
9,5 11,5 9 12 11,5 10 11	8 6,5 10 7 11,5 9,5 10,5 10	7,5 5 6 5,5 8,5 6,5 9	14 11,5 13 11 13 15

 

Exercice 2 : On désire connaître l’effet de la nature de la solution d’arrosage sur la pousse d’une certaine plante, mesurée par la variable Y. Grâce à un plan expérimental bien conçu, on obtient les résultats suivants :

Nature de          Eau       Eau +          Eau +        Eau + l’arrosage                   Potassium    Phosphore   Azote

ni                   5              4                 5                6              15            18               17              40              47            86               61             272

 

La nature de l’arrosage a-t-elle une influence sur la pousse de cette plante ? Réponse.

 

Exercice 3 : Afin de déterminer si le cholestérol sérique est lié à l’âge, on a effectué 39 dosages sur 39 sujets. On suppose la variable aléatoire cholestérol sérique normale.

Ages	Dosages
20 – 30 30 – 40 40 – 50 50 – 60 60 –  70	1,8  2,3  2,0  2,4  2,0  2,5  2,6 2,6  2,9  2,3  2,4  2,1  2,7 2,7  3,0  3,1  2,3  2,5  3,0  3,3  2,7 3,1  2,9  3,4  2,4  3,4 3,7  2,8  3,3  3,5  3,3  2,6

 

Peut-on noter une différence significative entre les moyennes des cholestérols sériques selon les âges ? Réponse.