Soient F et G deux sous-espaces supplémentaires dans E. Alors et on appelle projection sur F parallèlement à G, l’endomorphisme tel que :
(i) , alors ; Les éléments de F restent invariants par .
(ii) , alors .
· Un endomorphisme f de E est dit idempotent lorsque .
· On appelle projecteur de E tout endomorphisme idempotent de E.
Remarque
Toute projection est un projecteur.
Exemples
1. Montrer que l’application définie par est un projecteur. Réponse.
2. Montrer que l’application définie par est une projection sur F parallèlement à G. Identifier F et G. Réponse.
Soit p un projecteur de E. Alors . est l’ensemble de tous les éléments de E invariant par p.
Démonstration
Soit . Alors tel que . Ainsi .
De même si , alors , d’où l’égalité.
Propriétés
(i) Soit p un projecteur de E. Alors .
(ii) Si p est un projecteur de E, alors nécessairement p est la projection sur parallèlement à .
(iii) Soit p un endomorphisme de E. , avec l’application identité de E, est un projecteur si et seulement si p est un projecteur.
(iv) Si p est un projecteur de E, alors et .
Si p est un projecteur de E, alors on dit que p et sont des projecteurs associés.
Soient F et G deux sous-espaces supplémentaires dans E. Alors et on appelle symétrie par rapport à F parallèlement à G, l’endomorphisme tel que :
(iii) , alors ; Les éléments de F restent invariants par .
(iv) , alors ; Les éléments de G sont changés en leur opposé par .
Un endomorphisme s de E est une involution linéaire lorsque .
Remarque
Toute symétrie est une involution linéaire.
Exemples
1. Montrer que l’application telle que est une involution linéaire. Réponse.
2. Montrer que l’application définie par est une symétrie sur F parallèlement à G. Identifier F et G. Réponse.
Propriété
Soient F et G deux sous-espaces supplémentaires dans E. Les endomorphismes et sont liés par la relation .