Les matrices

5         Inversion de matrice : voir aussi chapitre 3bis

5.1    Matrice adjointe

Définition

Considérons une matrice carrée A d’ordre n, la matrice des cofacteurs  des éléments  de A notée  est appelée matrice adjointe de A ou co-matrice de A.

 Exemple 12

. Calculer . Réponse.

 

5.2   Théorèmes

Théorème 1

Soit A une matrice carrée d’ordre n. Alors A est une matrice inversible si et seulement si .

 

Théorème 2

Soit A une matrice carrée quelconque d’ordre n. Alors :

             où  est la matrice identité d’ordre n.

 

Théorème 3

Soit A une matrice carrée quelconque d’ordre n. Si , alors A est inversible et :

 

5.3   Cas d’une matrice d’ordre 2

Soit A= . On sait que |A| = det(A) = (ac-bd).

La matrice adjointe de A est adjA =  : .

 

Exemple 13

Soit . Calculer . Réponse.

 

5.4   Cas d’une matrice d’ordre 3

5.5   Cas particulier : inverse d’une matrice diagonale

Définition

Si  est une matrice diagonale inversible d’ordre n :

(i)                 

(ii)