Soit diagonalisable. Soit une valeur propre de f. On note . est un sous-espace vectoriel de E appelé sous-espace propre associé à .
Soient f un endomorphisme diagonalisable de E et une valeur propre de f. Alors le sous-espace propre associé à est un sous-espace vectoriel de E.
Soient des valeurs propres deux à deux distinctes de diagonalisable. Alors les sous-espaces propres sont en somme directe.
Cette proposition signifie que si sont des bases de alors est une famille libre de E (non nécessairement génératrice).
Remarque
La somme directe des espaces propres n’est pas forcément E tout entier. Ce n’est effectivement le cas que si :
C’est tout le problème de la diagonalisation.
Soit . Alors f est diagonalisable si et seulement si :
1. avec et
2. Pour chaque valeur propre de multiplicité , on a : .
f est diagonalisable si et seulement si
Exemple 5
Soit l’endomorphisme dont la matrice relative à la base canonique de est . Rechercher les vecteurs et les valeurs propres de f, ainsi que les sous-espaces propres associés. Réponse.
Si et si f admet n valeurs propres deux à deux distinctes, alors f est diagonalisable.
Exemple
En revenant à l’exercice 2 de ce chapitre, on démontre immédiatement que f est diagonalisable car f est un endomorphisme de , et f admet deux valeurs propres simple et .