Soit E un espace préhilbertien. Deux vecteurs et de E sont dits orthogonaux si et seulement si :
On dit aussi que est orthogonal à .
Remarques
« est orthogonal à tout vecteur . En effet, .
« Inversement, si est orthogonal à tout vecteur de E, alors . En effet, si est orthogonal à tout vecteur de E, alors en particulier et donc .
« est orthogonal à si et seulement si , c’est-à-dire si et seulement si .
Dans le plan, il est parfois utile de savoir trouver rapidement les coordonnées d’un vecteur orthogonal à un vecteur quelconque .
Soit orthogonal à . Alors . Si on suppose , alors on a . L’ensemble des vecteurs orthogonaux à est donc défini comme :
En particulier, si on pose , alors est orthogonal à . De même, est orthogonal à .
Exemple
Soit . Alors est orthogonal à : .
« Un ensemble de vecteurs de E, un espace préhilbertien, est dit orthogonal si deux vecteurs quelconques de F sont orthogonaux :
,
« F est dit orthonormal, si F est orthogonal et si tous les vecteurs de F sont unitaires :
Remarque
On peut normaliser un ensemble orthogonal en normalisant chacun des vecteurs.
Soit F un ensemble orthogonal de vecteurs non nuls. Alors les vecteurs de F sont linéairement indépendants.
Soit un ensemble orthogonal. Alors :
Remarque
Ce dernier théorème permet de retrouver le théorème de Pythagore dans le cas du plan. En effet, si on considère deux vecteurs et du plan tels que , alors :
La base canonique de l’espace euclidien est une base orthonormale. En effet, et .
Soit espace euclidien. Considérons une direction définie par un vecteur . Soit . Cherchons à caractériser la projection orthogonale de sur la direction définie par :
On cherche donc à caractériser le vecteur par rapport au vecteur .
Soit et tels que par construction l’on ait :
Or est colinéaire à donc il peut s’écrire .
D’autre part, la caractéristique fondamentale de est que est orthogonal à :
Soient et deux vecteurs non nuls de . Le vecteur projeté de sur est le vecteur :
est colinéaire à et lui est orthogonal.
Remarque
Le coefficient est appelé coefficient de Fourier de sur ou composante de sur .
Soit . L’application de dans qui à associe est appelé projecteur orthogonal sur .
è Revoir la notion de projecteur.