Distance euclidienne

5         Déterminant et volume

Considérons le plan muni d’un repère d’origine A. On considère  espace euclidien.

Soient A de cordonnées , B de coordonnées , C de coordonnées . On désigne par  le vecteur issu de A et d’extrémité C et par  le vecteur issu de A et d’extrémité B. Ainsi,  et . On appelle  l’angle formé par  et .

 

Nous allons cherche à démontrer la propriété énoncée au chapitre 3, paragraphe 4.4, à savoir que le déterminant de  et  est égal à l’aire du parallélogramme ABDC.

On appelle respectivement G et H les projetés orthogonaux de B et D sur la direction définie par . Ainsi, l’aire du triangle ABG est égale à l’aire du triangle CDH, d’où l’on en déduit que l’aire du parallélogramme ABDC est exactement égale à l’aire du rectangle GBDH :

Or  avec  et . Donc :

En utilisant les coordonnées des vecteurs  et , on peut écrire :

                           

Finalement :

En remarquant que , on peut conclure que , autrement dit que le déterminant de deux vecteurs de  est bien égal à la surface du parallélogramme construit sur ces deux vecteurs.