Définition 1 :
Soient et . On dit que f est dérivable au point si et seulement si la quantité admet une limite finie lorsque x tend vers .
On note alors ;
est appelé nombre dérivé ou dérivée de f en .
Autres notations : ou
Remarque :
Une définition équivalente à la précédente s’obtient en posant :
Définition 2 :
Soit . On dit que f est dérivable sur I si elle est dérivable en tout point de I.
Définition 3 :
Soient et . On dit que f est dérivable à droite (resp. à gauche) au point si et seulement si la quantité admet une limite finie lorsque x tend vers par valeurs supérieures (resp. inférieures) :
: dérivée à droite de f en , notée aussi .
: dérivée à gauche de f en , notée aussi .
Proposition :
Soient et . f est dérivable au point si et seulement si f est dérivable à droite et à gauche en , et .
Cette proposition découle directement de la définition des limites à droite et à gauche.
Définition 4 :
Soit f une fonction dérivable sur I. La fonction dérivée ou dérivée de f sur I est la fonction qui a tout x de I associe .
Remarque :
L’ensemble de définition de est le sous-ensemble de I sur lequel f est dérivable : .
Définition :
Une fonction f admet un développement limité d’ordre 1 en s’il existe et une fonction définie sur un voisinage de tels que :
, avec et
Proposition :
f est dérivable en si et seulement si f admet un développement limité d’ordre 1 en . On a alors :
avec et .
Remarque :
L’écriture met en évidence que la fonction n’est pas trop différente du polynôme du premier degré :
du moins tant que x est voisin de .
Exemple :
Considérons la fonction définie par . On calcule aisément .
Il vient d’après la proposition précédente :
Théorème :
Soit . Si f est dérivable en , alors f est continue en .
! Attention : La réciproque est fausse, c’est-à-dire que la continuité n’implique pas nécessairement la dérivabilité.
Exemples :
? La fonction définie sur par est continue en 0 mais non dérivable en 0.
? Considérons la fonction suivante :
La question de la continuité et de la dérivabilité se pose en 0. Réponse.