Définition :
Une fonction puissance est une fonction dépendant d’un paramètre réel quelconque et définie sur par :
L’étude des limites aux bornes de l’intervalle de définition dépende du signe de m :
- Si , alors et
- Si , alors et
Une fonction puissance est définie, continue et dérivable pour tout :
Ainsi, les variations de la fonction puissance dépendent du signe de m :
Propriété :
Définition :
m étant un réel et u une fonction définie et strictement positive sur une partie , la fonction est définie sur D par :
D’après le théorème de dérivation d’une fonction composée (Chapitre 3, § 4.3), il vient :
Proposition :
m étant un réel et u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I de , alors la fonction est dérivable sur I et :
Cas particulier :
Soient et f une fonction définie sur par : .
f est dérivable sur et avec . Ainsi, par définition de la dérivabilité de f en 0, on obtient :
Ceci peut encore s’écrire avec .
La fonction constitue donc une approximation affine de la fonction au voisinage de 0.
Proposition :
m étant un réel et u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I de , alors la fonction admet pour primitive sur I la fonctiont :
Théorème :
· Si , alors et
· Si , alors et
Remarque :
Pour , en écrivant , on obtient :
avec ou
L’allométrie est l’étude des tailles relatives des différentes parties d’un organisme, sous l’influence de la croissance. Classiquement, on cherche à relier la taille et le poids d’un individu.
On doit à Huxley (1932) la relation (ou équation) allométrique de base :
où X représente par exemple le poids et Y la taille. et sont deux paramètres réels dont la valeur va dépendre de l’espèce étudiée.
L’intérêt de cette relation est que l’on peut la linéariser :
Ainsi, vous verrez dans votre cours de Probabilités – Statistiques en 2ème année de Deug SV, comment on peut obtenir des estimations des paramètres et à partir d’un jeu de données expérimentales.
Huxley donne l’exemple de la relation qui existe entre le poids des pinces de crabes (« fiddler-crab » et leur masse corporelle.
Voici une représentation graphique des données expérimentales brutes :
Voici une représentation graphique des données transformées en logarithme népérien :
La droite bleue permet de vérifier la linéarité de la relation entre les deux grandeurs, poids des pinces de homard, et masse corporelle, en coordonnées logarithme népérien.