Dérivation – Etude de fonctions

6         Théorème des accroissements finis

6.1      Théorème

Théorème des accroissements finis (Généralisation du théorème de Rolle) :

Soit f une fonction vérifiant les conditions suivantes :

- f est définie et continue sur un intervalle fermé ,

- f est dérivable sur ,

Alors il existe au moins une valeur c de l’intervalle ouvert  telle que :

 

! Attention ! Comme pour le théorème de Rolle, il n’y a pas nécessairement unicité de c.

 

Interprétation géométrique :

Soient A et B les points de coordonnées respectives  et .

 est le coefficient directeur de la droite (AB).

 est le coefficient directeur de la tangente T à la courbe représentative de f au point c.

_ Le théorème des accroissements finis permet de dire qu’il existe au moins un point c de  où la tangente T est parallèle à (AB).

 

 

Démonstration

 

Exemple d’utilisation

Soient f et g deux fonctions définies pour  par :

 et

Montrons que . Réponse.

 

6.1.1              Sens de variations des fonctions

Soit f une fonction continue sur  et dérivable sur .

Propriétés :

(i)                  f est constante sur      

(ii)                f est croissante sur      

(iii)               f est décroissante sur      

 

Exemple 13

 

Remarque :

Il existe des fonctions pour lesquelles, au voisinage de certains points , f n’est ni croissante ni décroissante, ni même croissante d’un côté et décroissante de l’autre, et qui pourtant admettent une dérivée  en ces points.

Voir… !

 

6.1.2             Inégalités des accroissements finis

Théorème 1 :

Soit f une fonction continue sur  et dérivable sur .

S’il existe deux réels m et M tels que , , alors

 

Théorème 2 :

Soit f une fonction continue sur  et dérivable sur .

S’il existe un réel M tels que , , alors

 

Démonstrations

 

Conséquence :

D’après ces deux inégalités, pour  donné et pour tout , il vient :

-         Si , alors

-         Si , alors

Ainsi, la fonction f est toujours encadrée, sur l’intervalle , par deux droites d’équations  et .

 

Exemple d’utilisation 14

 

6.2      Théorème des accroissements finis généralisés

Théorème :

Soient f et g deux fonctions vérifiant les conditions suivantes :

- f et g sont définies et continues sur ,

- f et g sont dérivables sur ,

-  ne s’annule pas sur ,

Alors il existe au moins une valeur c de l’intervalle ouvert  telle que :

 

! Attention ! Il n’y a pas nécessairement unicité du point c.

Démonstration

 

6.3      Règle de L’Hospital

6.4      Théorème du point fixe

Théorème :

Soit f une fonction continue de  dans , alors  tel que .

Si de plus f est dérivable sur  et que   , alors c est unique.

 

Exemple 17