Primitives – Intégration

5 Méthodes de calcul approché d’intégrales

Lorsque la primitive de ne peut pas être calculée de façon simple, ou que cela demande des calculs trop longs, on est alors amené à calculer de manière approchée à l’aide d’une méthode numérique.

Nous présentons dans ce paragraphe les méthodes graphiques les plus classiques.

Soit f une fonction positive et intégrable sur un intervalle et sa courbe représentative ; On cherche une valeur approchée de .

L’idée de départ, commune aux méthodes graphiques qui vont nous intéresser, est que l’on partage l’intervalle d’intégration en n intervalles égaux de longueur , avec et .

Les points ont pour coordonnées ;

Les points ont pour coordonnées .

On désigne par une approximation de la fonction f sur les intervalles .

Ainsi, on peut décomposer en avec . On prend alors comme valeur approchée de : .

Le choix de la fonction conduit à l’une des trois méthodes présentées ci-dessous.

5.1 Méthode des rectangles

Cette méthode est directement inspirée de la définition des intégrales.

On prend comme fonction , la fonction constante qui correspond à la valeur de f au point milieu de l’intervalle .

Ainsi, on a .

La valeur approchée de I est alors donnée par (voir figure ci-dessous) :

On prend comme fonction , la fonction affine égale à f aux points extrêmes de l’intervalle ; graphiquement, cela revient à considérer des trapèzes au lieu des rectangles de la figure précédente. est alors égale à l’aire du trapèze .