Soit une application de dans qui a tout couple de vecteurs de E fait correspondre un réel . est une forme bilinéaire, si elle est linéaire par rapport à et par rapport à :
Remarque
Cette définition rejoint celle des formes multilinéaires introduite pour les déterminants.
(i) est symétrique si
(ii) est définie si
(iii) est positive si
On appelle produit scalaire une forme bilinéaire symétrique, définie et positive
Notations du produit scalaire :
Dans toute la suite du cours nous adopterons la notation .
Remarques
· Un espace vectoriel est muni a priori de plusieurs produits scalaires.
· est une opération entre deux vecteurs ; le résultat est un scalaire.
Un espace vectoriel muni d’un produit scalaire est appelé espace préhilbertien.
D’après la définition du produit scalaire, est positif ou nul ; Il admet donc une racine carrée que l’on note .
On appelle norme ou longueur du vecteur associée au produit scalaire (•) et notée , le scalaire :
On rappelle que est un espace vectoriel.
L’application suivante est un produit scalaire :
On l’appelle produit scalaire canonique de .
L’espace vectoriel muni de son produit scalaire canonique est appelé espace euclidien de dimension n.
è Dans toute la suite du chapitre, nous ferons toujours référence pour , sauf mention contraire, au produit salaire canonique.
Remarque
Si on désigne par et les matrices des coordonnées des vecteurs et , alors on a .
Exemple
Soient et deux vecteurs de muni de son produit scalaire canonique. Vérifier la proposition précédente. Réponse.
étant muni de son produit scalaire canonique, la norme de s’écrit :
Exemple
On suppose muni de son produit scalaire canonique. Calculer la norme de . Normer . Réponse.
1. Soit V l’ensemble des fonctions continues sur l’intervalle . V est un espace vectoriel.
Alors l’expression suivante définit un produit scalaire sur V :
Où f et g sont des fonctions quelconques continues sur .
2. Considérons l’ensemble des matrices de dimension à coefficients dans . Nous avons déjà vu que est un espace vectoriel (Chap3, § 2.2).
Alors l’expression suivante définit un produit scalaire sur :
où tr désigne la trace de la matrice c’est-à-dire la somme des éléments diagonaux de la matrice. Si et avec et , alors :