Chapitre 2 : Probabilités

4         Probabilités conditionnelles

4.1         Définition

Soit deux évènements A et B d’un espace probabilisé W avec P(B)¹ 0, on appelle

probabilité conditionnelle de l’évènement « A si  B»  (ou « A sachant B»), le quotient

                                                 notée PB (A)

 

     

On définit ainsi une probabilité sur W au sens de la définition donnée précédemment.      

Théorème :

Soit B un évènement de probabilité non nulle, alors :

                                               PB :    e (W)  ®   [0,1]

                                                  est une probabilité sur W

 

Voici pourquoi :

(P1)  "A Î e(W)        P(A / B) ³  0     (quotient de deux réels positifs)

(P2)   P(W / B) =   car W Ç B = B car W élément neutre

(P3)   si (A1Ç A2)=Æ),   PB (A1ÈA2) =  =   = PB (A1) + PB (A2)     additivité

 

Remarque : La probabilité P(A) est appelée la probabilité a priori et P(A\B) ou PB (A) la probabilité a posteriori car sa réalisation dépend de la réalisation de B.

 

On observe les relations suivantes :

            P(A / A) = 1

            Si B Ì A, alors A Ç B = B et donc

 

Exemple :

Soit un croisement entre hétérozygotes Aa pour un caractère à dominance stricte, quelle est la probabilité d’obtenir à la génération suivante parmi les individus de phénotype A, un individu homozygote ?

L’ensemble des évènements élémentaires est : W = {AA, Aa, aA, aa}

Si h = homozygote et  = hétérozygote

   1/3       ( probabilité a posteriori)

La probabilité a priori d’obtenir un homozygote est 1/4.

 

4.2       Probabilités composées

Théorème :

Soit deux évènements A et B d’un espace probabilisé W. Alors,

 P(A Ç B) = P(B / A) P(A) = P(A / B) P(B)        Formule des probabilités composées

 

Voici pourquoi :

Par définition,  d’où     P(A Ç B) = P(A / B) P(B)

Par symétrie,   P(A Ç B) = P(A / B) P(B) = P(B / A) P(A)

 

Si A et B sont deux évènements indépendants et que P(B)¹ 0 alors ceci équivaut à affirmer que                       PB (A) = P(A / B) = P(A). 

 

Lorsque deux évènements sont indépendants, le fait que l’un des évènements soit réalisé, n’apporte aucune information sur la réalisation de l’autre. Dans ce cas la probabilité conditionnelle PB (A) (a posteriori ) est égale à la probabilité P(A) (a priori).

 

Voici pourquoi :

La formule des probabilités composées donne         P(A Ç B) = P(A / B) P(B).

L’indépendance statistique entre A et B équivaut à   P(A Ç B) = P(A) P(B)

d’où la relation                                                           P(A / B) = P(A)

Si A et B sont deux évènements indépendants  alors ceci équivaut à affirmer que     

                                         PB (A) = P  (A) = P(A).

 

Lorsque deux évènements sont indépendants, la probabilité conditionnelle de A est la même que ce soit B ou  qui est réalisé (voir démonstration).

 

Exemple :

Dans l’exemple du lancer d’un dé à 6 faces, non pipé, les deux évènements : A « le résultat est pair » et B « le résultat est un multiple de trois » sont indépendants (voir exemple).

Ainsi la probabilité que la face soit paire sachant que c’est un multiple de 3 est :

si  A = {2,4,6}    B ={3,6}       A Ç B ={6}

et      P(A) = 3/6          P(B) = 2/6      P(AÇB) = 1/6

 1/2 = P(A)  d’où la relation P(A/B) = P(A)

 

 

4.3       Probabilités totales

Théorème :

Si  {A1, A2,….,Ai,…..,An} est un système complet d’évènements, quel que soit l’évènement B, alors :       P(B) = P(B / A1)P(A1) + P(B /A2)P(A2)+…..+ P(B /An)P(An)

                              Formule des probabilités totales

 

 

Voici pourquoi :

Si i ¹ j, alors  (Ai Ç B) Ç (Aj Ç B) = (Ai Ç Aj) Ç B = Æ

Grâce à la distributivité, on a :

           (A1Ç B) È (A2Ç B) È……È (AnÇ B) = (A1È A2 È….È An) Ç B = W Ç B = B

Grâce à l’additivité, on a :

           P(B) =P(A1Ç B) + P(A2Ç B) + ……+ P(AnÇ B)

Grâce à la formule des probabilités composées, on a :

           P(A1Ç B) = P(B/A1)P(A1)

d’où    P(B)= P(B / A1)P(A1) + P(B / A2)P(A2) +…..+ P(B / An)P(An)

 

 

Exemple :

 

                        Lapin albinos                                              Lapin non albinos

 

Une population animale comporte 1/3 de mâles et 2/3 de femelles. L’albinisme frappe 6 % des mâles et 0,36 % des femelles. La probabilité pour qu’un individu pris au hasard (dont on ignore le sexe) soit albinos est :

            Si A = {mâle} et  = {femelle} constitue un système complet d’évènements

                B = {albinos} et  = {non albinos}

 sachant que    

alors                P(B) = (0,06 X 1/3) + (0,0036 X 2/3) = 0,0224

            soit 2,24% d’albinos dans cette population.

 

4.4       Le théorème de Bayes

Un corollaire au théorème des probabilités totales est connu sous le nom de formule de Bayes.

Théorème :

Si {A1, A2,….,Ai,…..,An} est un système complet d’évènements, et quel que soit l’évènement B tel que P(B) ≠ 0, alors :           

                                 Formule de Bayes

 

 

Voici pourquoi :

D’après la formule des probabilités composées,

            

D’après la formule des probabilités totales,

      

D’après la formule des probabilités conditionnelles

      

d’où  

 

 

Remarque : La formule de Bayes est utilisée de façon classique pour calculer des probabilités de causes dans des diagnostics (maladies, pannes, etc.).
L’application du théorème de Bayes est à la base de toute une branche de la statistique appelée statistique bayesienne.

 

Exemple :

Dans une population pour laquelle 1 habitant sur 100 est atteint d’une maladie génétique A, on a mis au point un test de dépistage. Le résultat du test est soit positif (T) soit négatif (  ). On sait que :  et

On soumet un patient au test. Celui-ci est positif. Quelle est la probabilité que ce patient soit atteint de la maladie A soit  PT(A) ou P(A/T) ?

            D’après la formule de Bayes :

          

            d’où  0,075

 

Ainsi avant le test, la probabilité d’être malade était de P(A) = 0 ,01 (probabilité a priori)

et après le test la probabilité d’être malade est de P(A/T) = 0,075 (probabilité a posteriori). Ainsi le test apporte un supplément d’information.