Chapitre 3 : Variables aléatoires

2         Variables aléatoires discrètes

2.1     Définition

Une variable aléatoire est dite discrète si elle ne prend que des valeurs  discontinues dans un intervalle donné (borné ou non borné). L’ensemble des nombres entiers est discret. En règle générale, toutes les variables qui résultent d’un dénombrement  ou d’une numération sont de type discrètes.

 

Exemples :

Les variables aléatoires,

- le nombre de petits par porté pour une espèce animale donnée (chat, marmotte, etc.),

- le nombre de bactéries dans 100 ml de préparation,

-  le nombre de mutations dans une séquence d’ADN de 10 kb,

 etc.

sont des variables aléatoires discrètes.

 

2.2       Loi de probabilité

Une variable aléatoire est caractérisée par l’ensemble des valeurs qu’elle peut prendre et par l’expression mathématique de la probabilité de ces valeurs. Cette expression s’appelle la loi de probabilité (ou distribution de probabilité) de la variable aléatoire.

 

                             

 

La loi de probabilité d’une variable aléatoire discrète est entièrement déterminée par les probabilités pi des évènements {X = xi}, xi parcourant l’univers image X(W). La loi de probabilité est donnée par les (xi, pi)i.

 

Remarque : Afin de simplifier l’écriture, nous noterons pour la suite du cours :

P({X = xi}) équivalent à   P(X=xi) ou  pi

Exemple :

Dans le cas de la constitution d’une fratrie de deux enfants, si l’on fait l’hypothèse que la probabilité d’avoir un garçon est égale à celle d’avoir une fille (1/2), alors la distribution de probabilité ou loi de probabilité du nombre de filles dans une fratrie de deux enfants est :

 

Ensemble des

évènements possibles

W

Valeurs de la

variable aléatoire

X

Probabilités associées

à la variable X

P(X=xi) ou pi

G et G

F et G         ou G et F

F et F

0

1

2

1/4

1/2

1/4

                                              

Si P(F)= P(G)=1/2, alors

(1)      P[(F Ç G) È (G Ç F)] = P(F Ç G) + P(G Ç F)                         Propriétés d’additivité  

 avec (F Ç G) Ç (G Ç F) = Æ évènements incompatibles

(2)      P(F Ç G) = P(F)P(G)                                                             Propriété d’indépendance

d’où P[(F Ç G) È (G Ç F)] = P(X =1) = (1/2x1/2)+(1/2x1/2) = 1/2

 

Remarque : Une loi de probabilité n’est établie que si , la somme étant étendue à tous les indices i.

2.3       Fonction de répartition

On appelle fonction de répartition d’une variable aléatoire X, la fonction FX  telle que :

                                   FX :    R ® R

                                              t ® FX  (t) = P(X < t)

 

Concrètement la fonction de répartition correspond à la distribution des probabilités cumulées. Le plateau atteint par la fonction de répartition correspond à la valeur de probabilité 1 car   .

L’importance pratique de la fonction de répartition est qu’elle permet de calculer la probabilité de tout intervalle dans R.

 

Les propriétés associées à la fonction de répartition sont les suivantes :

Soit FX   la fonction de répartition d’une variable aléatoire discrète X  alors :

(P1)      "t Î R   0 £ FX  (t) £ 1

(P2)      FX  est croissante sur R

(P3)     FX  (t) = 0   et  FX  (t) = 1

(P4)     si  a £  b    P (a £  X £  b) = FX  (b) - FX  (a)

 

 

Voici pourquoi :

(P1) résulte de la définition d’une probabilité

(P2) si a £ b, alors  {X < a } Ì {X < b } donc P(X < a ) £ P(X < b ) voir inclusion

  (P3) même raison que pour P1

(P4) {X < b }= { a £ X £ b }È {X < a }  ainsi FX  (b) = P(a £ X £  b) + FX  (a)

 

 

Exemple :

On considère l’évènement w «  lancer de 3 pièces ». On introduit une variable aléatoire X définie par X(w) « nombre de piles de l’évènement w». La loi de probabilité de X est :

 

Nombre de piles

P(X = xi )

    FX

 Dans le cas d’une variable aléatoire discrète, on utilise un diagramme en bâtons pour visualiser la distribution de probabilités et une fonction en escalier pour la fonction de répartition.

 

0

1

2

3

1/8

3/8

3/8

1/8

1/8

4/8

7/8

1