Les applications linéaires constituent un chapitre considérable des mathématiques modernes, tant par sa densité au-delà de son développement propre : calcul matriciel ; théorie des déterminants ; formes quadratiques ; espaces fonctionnels… ; que par l'importance de son emploi dans les autres sciences : Recherche opérationnelle ; Sciences économiques ; Mécanique quantique ; Théorie de la relativité ; Biologie (dynamique des populations)... Ceci est dû, en particulier, aux nombreuses interventions des systèmes d'équations algébriques, différentielles ou aux dérivées partielles, dont la résolution utilise les applications linéaires et le calcul matriciel qui leur est lié (voir chapitre 3). Source : http://www.chronomath.com/.
Considérons deux ensembles non vides quelconque E et F. Supposons qu’à chaque élément de E on fasse correspondre un unique élément de F. L’ensemble de ces correspondances est appelé une application de E vers F ; on la note . On note également l’élément de F associé à .
Dans le cours d’analyse nous avions également parlé d’applications (que nous avions désigné sous le terme fonctions) mais de dans , c’est-à-dire des applications réelles d’une variable réelle.
Supposons que les deux ensembles non vides quelconques E et F sont munis chacun d’une loi de composition interne : et . On dit que est une morphisme (on dit encore homomorphisme) lorsque :
,
On désigne alors par endomorphisme de un morphisme de dans lui-même ; par isomorphisme un morphisme bijectif ; et par automorphisme un endomorphisme bijectif.
Les applications linéaires sont des morphismes d’espace vectoriel, c’est-à-dire des applications d’un espace vectoriel dans un autre espace vectoriel. C’est tout l’objet de ce chapitre 2.