Chapitre 1 : Analyse combinatoire

4         Combinaisons

4.1         Définition

Si l’on reprend l’exemple de la séquence d’ADN, à la différence des arrangements où les dinucléotides AC et CA formaient deux arrangements distincts, ces derniers ne formeront qu’une seule combinaison. Pour les combinaisons, on ne parle plus de suite ni de série puisque la notion d’ordre des objets n’est plus prise en compte. On parle alors de tirages avec ou sans remise.

4.2       Combinaisons sans remise

 

 

Remarque :	On a nécessairement  1 £ p £ n            et   n, p Π N*
	Si    n < p, alors

 Exemples :

(1) Le tirage au hasard de 5 cartes dans un jeu de 32 (main de poker) est une combinaison avec  p=5 et n=32.

(2) La formation d’une délégation de 5 personnes parmi un groupe de 50 constitue une combinaison avec p=5 et n=50.

Pour ces deux exemples, les objets tirés sont clairement distincts.

 

 

 

Voici pourquoi : Pour calculer ce nombre, on utilise le principe de la division. •  Il y a  manières de tirer p objets parmi n en les ordonnant soit  •  Une fois les p objets tirés, il y a p! manières de les ordonner. • Il y a donc  manières de tirer p objets parmi n sans les ordonner.

 

Remarque :	A la notation ancienne , on préfère parfois la notation moderne .
	Les nombres n et p constituent les coefficients binomiaux.

Exemples :

(1) Dans le cadre de l’exemple de la séquence d’ADN, le nombre de dinucléotides attendus sans tenir compte de l’ordre des bases dans la séquence (hypothèse justifiée dans le cas de l’ADN non codant) est donc : 

             6 dinucléotides

Les 6 dinucléotides possibles sous cette hypothèse sont :

 

AC	AG	AT	CG	CT	GT
CA	GA	TA	GC	TC	TG

Ceci correspond aux 12 arrangements possibles sans répétitions (  ) divisé par  le nombre de permutations possibles avec 2 nucléotides (  ).

 

(2) Quel est le nombre attendu de mains au poker ? Réponse.

(3) Quel est le nombre de délégations différentes de 5 personnes prises dans un groupe de 50 ? Réponse.

 

4.3       Combinaisons avec remise

 

Voici pourquoi : Soit la constitution de mots de 3 lettres à partir d’un alphabet à 5 lettres avec remise, on distingue 3 cas possibles : •         nombre de mots de 3 lettres différentes et sans ordre        •  x 2  nombre de mots de 2 lettres différentes  et une lettre redondante        •          nombre de mots de 3 lettres identiques d’où au total :  + 2  +  =  en utilisant la formule des combinaisons composées ou formule de Pascal. en effet  +  =   et   +  =  d’où   +  =  soit  = 35 mots possibles de 3 lettres à partir d’un alphabet à 5 lettres.      ainsi                                   avec n=5  et p=3

 

4.4       Propriétés des combinaisons

4.4.1                   La  symétrie

Le nombre de combinaisons de p objets pris parmi n étant , alors

(1)                                           car                  

(2)       si n ≥ 1                    avec                

(3)       si n ≥ 2        

                                    avec

Par récurrence, on déduit des relations précédentes, la propriété de symétrie à savoir :

Il revient au même de donner la combinaison des p objets choisis ou bien celle des (n-p) qui   ne le sont pas.

 4.4.2   Combinaisons composées ou Formule de Pascal

 

                             

Voici pourquoi : Parmi les n objets, on considère un objet en particulier.  •   Si cet objet fait partie des p objets tirés, il y a  possibilités de choisir les  p-1 autres objets parmi les n-1 objets restants.         •  Si en revanche, l’objet ne fait pas partie du tirage, il y a  possibilités de choisir les  p autres objets parmi les n-1 objets restants. d’où la relation

 

Les termes du triangle de Pascal résultent de l’application directe de cette relation.

 

		p -1	p
n -1
n

 

 

Pour établir le triangle de Pascal, il suffit de porter les valeurs prises par p en colonne et celles prises par n en ligne (voir tableau ci-dessus). La valeur attribuée à chaque case, , est obtenue en faisant la somme de la valeur de la case située juste au-dessus,  et la valeur de la case située au-dessus et à gauche . Ceci correspond à l’application de la propriété énoncée précédemment.

Le triangle de Pascal permet d’obtenir par récurrence les coefficients numériques ou coefficient binomiaux du binôme de Newton.

 

4.5       Formule du binôme de Newton

La formule du binôme de Newton  correspond à la décomposition des différents termes de la puissance n^ième du binôme (a+b).

Elever (a+b) à la puissance n revient à multiplier n binômes identiques (a+b). Le résultat est une somme où chaque élément est le produit de n facteurs de type a ou b choisi chacun dans un binôme différent. Les termes sont ainsi de la forme . Chacun de ces termes est obtenu autant de fois qu’il existe de façons de choisir les p éléments a parmi les n, c’est à dire le nombre de combinaisons .

Compte tenu de la symétrie des combinaisons , la formule du binôme de Newton peut s’écrire :

                        avec q = n - p

Les coefficients binomiaux,  ou    qui sont les coefficients de la formule du binôme de Newton figurent dans de nombreuses formules mathématiques, notamment pour le calcul des probabilités de la loi binomiale.  Ces coefficients peuvent être obtenus facilement à l’aide du triangle de Pascal.

Exemple :

Le développement de (a+b)⁶  donne :

L’application du triangle de Pascal  (7^e ligne) donne directement les valeurs des coefficients binomiaux :

                     

Remarque :	Si l’on pose a = b = 1
	, on obtient alors, d’après la formule du binôme de Newton,

 

Or  étant le nombre de parties à p éléments de l’ensemble E contenant n objets,  représente le nombre de parties ou partitions de l’ensemble E que l’on note :

(voir  système complet d’évènements)

Le cardinal d’un ensemble (card) correspond au nombre d’éléments constituant cet ensemble.