Chapitre 3 : Variables aléatoires

4         Couples de variables aléatoires

4.1         Loi jointe

Les définitions portant sur la loi jointe entre deux variables aléatoires X et Y impliquent que ces dernières soient définies sur le même espace fondamental W. Si X et Y sont définies respectivement sur les espaces fondamentaux W₁ et W₂, alors il faut envisager un espace qui englobe W₁ et W₂ appelé « espace-produit ».

 

Il suffit alors de connaître la loi jointe des deux variables aléatoires ou loi de probabilité du couple (X,Y),la fonction définie par :

                        x,y  ® p_xy = P ((X = x) et (Y = y))     dans le cas discret

 

Dans le cas continu,    p_xy = P ((x_a < X < x_b ) et (y_c < Y < y_d)) permet de définir la probabilité pour que (X,Y) soit dans un rectangle.

Remarque :	Ceci peut être généralisé à un nombre quelconque de variables aléatoires.

 

Exemple :

On place au hasard deux billes rouge et verte dans deux boites A et B. On note X, la variable aléatoire « nombre de billes dans la boite A » et Y, la variable aléatoire « nombre de boites vides ».

                                                                                                    

 

   A              B                      A           B                       A           B                            A          B

 

Les distributions de probabilités associées à chacune des variables X et Y ainsi que celle de la loi jointe sont indiquées ci-dessous. Pour chaque loi, la valeur de l’espérance et de la variance est également indiquée.

                         

Variable X :             X(W) = {0,1,2}	xi	0	1	2
E(X) = 1                     V(X) = 1/2	pi	1/4	1/2	1/4

 

Variable Y :             Y(W) = {0,1}	yj	0	1
E(Y) = 1/2                  V(Y) = 1/4	qj	1/2	1/2

 

Variable XY :       XY(W) = {0,1,2}	xi yj	0	1	2
E(XY) = 1/2               V(XY) = 3/4	rij	3/4	0	1/4

 

4.2       Indépendance entre variables aléatoires

 

Les propriétés concernant l’indépendance statistique entre deux variables aléatoires s’appliquent aussi bien aux variables aléatoires discrètes ou absolument continues.

 

 

Remarque :	L’application réciproque n’est pas vraie. La relation E(XY) = E(X)E(Y)
	n’implique pas forcément l’indépendance de deux variables aléatoires.

Exemple :

Dans l’exemple concernant la répartition des deux billes dans les 2 boites, la relation

E(XY) = E(X)E(Y) est vérifiée car : E(X) = 1 ; E(Y) = 1/2    et E(XY) = 1/2

cependant les variables aléatoires X et Y ne sont pas indépendantes.

En effet  P ((X = 0) Ç (Y = 0)) = 0 car il est impossible d’avoir à la fois aucune bille dans la boite A et aucune boite vide. Or on attend si X et Y sont deux variables statistiquement indépendantes, à ce que

P ((X = 0) Ç (Y = 0)) = P(X = 0)P(Y = 0) = 1/4*1/2 = 1/8 ¹ 0

 

 

Remarque :	L’application réciproque n’est pas vraie. La relation V(X + Y) = V(X) + V(Y) n’implique pas forcément l’indépendance de deux variables.

 

Exemple :

Si l’on reprend l’exemple de la répartition de deux billes dans deux boites, la distribution de probabilité de la variable aléatoire (X+Y)  est    :

 

Variable X+Y :           X+Y(W)={0,1,2,3}	xi+ yj	0	1	2	3
E(X+Y)=3/2               V(X+Y)=3/4	rij	0	3/4	0	1/4

 

Comme V(X) = 1/2 et V(Y) = 1/4 alors  V(X) + V(Y) = 3/4 = V(X+Y)

 

On retrouve ainsi la relation V(X + Y) = V(X) + V(Y) bien que X et Y ne soient pas indépendantes (voir démonstration).

 

4.3       Covariance et Corrélation

Lorsque l’on considère deux variables aléatoires simultanément, il faut définir un indicateur de leur « liaison » qui complète les paramètres qui les caractérisent chacune séparément (espérance mathématique et variance)

 

 

 

Il résulte de cette définition, le théorème suivant :

 

                         

 

Remarque :	Si X et Y sont indépendantes, r=0 mais la réciproque est fausse. Il peut arriver, par hasard, que r=0 sans que X et Y soient indépendantes.

4.4       Opérations sur les variables aléatoires

Il arrive souvent que l’on effectue des transformations sur les variables aléatoires par commodité de calcul et il est important de savoir comment se comportent les paramètres associés à cette variable.

Nous avons résumé dans le tableau ci-dessous quelques transformations possibles avec

 a et b Î R.

 

Translation de l’origine seule X ® X + b	Changement d’unités seul X ®  aX	Cas général X ®  aX + b
E(X+b) = E(X) + b         V(X + b) = V(X)	E(aX) = aE(X) V(aX) = a2 V(X)	E(aX + b) = aE(X) + b       V(aX + b) = a2 V(X)

 

 

Il existe d’autres transformations de variables aléatoires qui conduisent à des valeurs de paramètres particulières.

 

Exemple :

 La variable Y = X – E(X) est une variable aléatoire centrée car

            E(Y) = E[X – E(X)] = E(X ) – E(E(X))

or        E(E(X)) = E(X )    voir propriétés P₄  de l’espérance

ainsi    E(Y) = E(X ) – E(X) = 0

 

 

Exemple :

La variable  est une variable aléatoire réduite car

 voir propriétés P₂  de l’espérance

          d’où

 

A toute variable aléatoire X d’espérance E(X) et de variance V(X) on peut associer

la variable aléatoire  dite variable aléatoire centrée réduite et dont l’emploi est indispensable pour utiliser la plupart des tables notamment les tables de la loi normale réduite.

 

 

 

4.5       Généralisation à n variables aléatoires