Une loi de probabilité peut être caractérisée par certaines valeurs typiques correspondant aux notions de valeur centrale, de dispersion et de forme de distribution.
L’espérance d’une variable aléatoire E(X) correspond à la moyenne des valeurs possibles de X pondérées par les probabilités associées à ces valeurs. C’est un paramètre de position qui correspond au moment d’ordre 1 de la variable aléatoire X. C’est l’équivalent de la moyenne arithmétique . En effet lorsque le nombre d’épreuves n est grand, tend vers E(X) (voir estimation).
Si X est une variable aléatoire discrète définie sur un univers probabilisé W, on appelle espérance de X, le réel défini par :
| Remarque : | Si X(W) est infini, on n’est pas sûr que l’espérance existe. L’espérance mathématique est également notée m(X), mX ou encore m si aucune confusion n’est à craindre. |
Nous pouvons donner une autre définition de l’espérance d’une variable aléatoire discrète X si à w Î W, on associe l’image x telle que X(w) = x.
Théorème :
Si X est une variable aléatoire discrète de loi de probabilité (xi, pi)i définit sur un nombre fini (n) d’évènements élémentaires alors :
Exemples :
(1) Si l’on reprend l’exemple d’une fratrie de deux enfants, l’espérance de la variable aléatoire « nombre de filles « est :
E(X) = 0 * 1/4 + 1* 1/2 + 2*1/4 = 1 d’où E(X) = 1
Si l’on observe un nombre suffisant de fratries de 2 enfants, on attend en moyenne une fille par fratrie.
(2) Quand est-il de l’espérance de la variable aléatoire X de valeurs 0, 1, 2 et 3 avec respectivement les probabilités 0,1 ; 0,2 ; 0, 3 et 0,4 ? Réponse.
Si X est une variable aléatoire absolument continue de densité ¦, on appelle espérance
de X, le réel E(X) , défini par : E(X) = x f(x)dx
si cette intégrale est convergente.
Exemple :
Si on reprend l’exemple de la recolonisation de l’étang par les canards colverts, la durée moyenne pour la recolonisation est :
3/2 (voir Démonstration)
Sous ce modèle, la durée moyenne de recolonisation pour l’ensemble de la population de canards colverts est de 1,5 minutes.
| Remarque : | Dans cet exemple, la variable étudiée t ne peut prendre que des valeurs dans
[0, +¥[ |
Les propriétés de l’espérance valent aussi bien pour une variable aléatoire discrète ou une variable aléatoire absolument continue.
Si X et Y sont deux variables aléatoires définies sur un même univers W, admettant
une espérance, alors :
(P1) E(X+Y)=E(X)+E(Y)
(P2) E(aX)=aE(X) "a Î R
(P3) Si X ³ 0 alors E(X) ³ 0
(P4) Si X est un caractère constant tel que : "w Î W X (w) = k alors E(X) = k
| Remarque : | Dans le cas continu, E (X+Y) = (x+y) f(xy)dxdy. La propriété P1 est vérifiée quelques soient les relations de dépendance ou d’indépendance statistique entre les deux variables. |
|
Voici pourquoi : Nous démontrerons les propriétés dans le cas de deux variables aléatoires discrètes avec pi, la probabilité de réalisation de {X = xi} et {Y = yi} et n évènements élémentaires. (P1) (P2) (P3) X ³ 0 implique que "w Î W X (w) ³ 0 et comme une probabilité est toujours positive, E(X) ³ 0. (P4) car par définition Nous verrons les applications directes de ces propriétés dans le cadre des opérations sur les variables aléatoires. |
La variance d’une variable aléatoire V(X) est l’espérance mathématique du carré de l’écart à l’espérance mathématique. C’est un paramètre de dispersion qui correspond au moment centré d’ordre 2 de la variable aléatoire X. C’est l’équivalent de la variance observée S2. En effet lorsque le nombre d’épreuves n est grand, S2 tend vers V(X) (voir estimation).
Si X est une variable aléatoire ayant une espérance E(X), on appelle
variance de X le réel : V(X) = E([X - E(X)]2)
Autre notation : V(X) = E([X - E(X)]2)
V(X) = E(X 2 – 2XE(X) +E(X)2)
V(X) = E(X 2) – 2E[XE(X)] +E[E(X)2] Propriétés P1 de l’espérance
V(X) = E(X 2) – 2E(X)2 + E(X)2 = E(X 2) – E(X)2 Propriétés P4 de l’espérance
V(X) = E (X 2 ) – [E(X)]2
| Remarque : | Si X(W) est infini, il n’est nullement évident que V(X) existe. De plus comme [X – E(X)]2³ 0 nécessairement
V
(
X
) ³0. Par définition, une variance est toujours positive
|
| La variance est également notée s 2 si aucune confusion n’est à craindre. |
Si X est une variable aléatoire ayant une variance V(X), on appelle écart-type de X,
le réel :
| Remarque : | L’écart-type permet de disposer d’un paramètre de dispersion qui s’exprime dans les mêmes unités que la variable aléatoire elle-même. |
|
Le terme « écart-type » se traduit en anglais par le faux-ami « standard deviation ». |
Si X est une variable aléatoire discrète de loi de probabilité (xi, pi)i définie sur un nombre
fini (n) d’évènements élémentaires alors la variance est égale à :
Exemple :
(1) Si l’on reprend l’exemple d’une fratrie de deux enfants, la variance de la variable aléatoire « nombre de filles « est :
V(X) = 1/4 (O-1)2 + 1/2 (1-1)2 + 1/4 (2-1)2 = 1/2
V(X) = 1/2 et 0,7
(2) Dans le cas de la loi de probabilité du nombre de piles lors du lancer de 3 pièces, quelles sont les valeurs de l’espérance et de la variance de cette loi ? Réponse.
Si X est une variable aléatoire continue donnée par sa densité de probabilité alors la variance de X est le nombre réel positif tel que :
Exemple :
Dans le cadre de la recolonisation de l’étang par la population de canard colvert, la variance de la loi de probabilité est :
= 5/4 avec s = 1,12 (voir Démonstration)
Si X est une variable aléatoire admettant une variance alors :
(P1) " a Î R, V(aX) = a2 V (X)
(P2) " (a , b) Î R, V(aX + b) = a2 V (X)
(P3) V (X) = 0 Û X = E(X)
Il est possible d’exprimer la variance en fonction du moment d’ordre 1 (m1) et du moment d’ordre 2 (m2). La variance correspond au moment centré d’ordre 2.
V(X) = E([X - E(X)]2) = E(X 2) – E(X)2 Démonstration
d’où V(X) = E(X 2) – E(X)2 = m2 - m12