Chapitre 9 : Analyse de Variance

4         Pratique de l’analyse de variance

L’analyse de variance à un facteur teste l’effet d’un facteur contrôlé A ayant p modalités sur les moyennes d’une variable quantitative Y.

L’hypothèse nulle testée est la suivante 

  H0 : m1 = m2 =…….= mI =….. = mp= m     contre       H1 :  $  mi ¹ mj

Le test de comparaison multiple de moyenne revient à faire un test de comparaison de deux variance.

 

4.1         Principe du test

Soit  l’équation de décomposition de l’analyse de variance 

                                 

                                      SCEtotale               SCEinter                 SCEintra

Les estimations des variances associées ou carré moyen sont :

      Variance totale :                                             avec N =     

      Variance factorielle (CMinter) :             = s2    uniquement sous H0                                                                                      

      Variance résiduelle (CMintra ) :            = s2   quelque soit le modèle   

 

Remarque : L’équation fondamentale de l’analyse de variance ne s’applique pas aux variances :            Variance totale ¹ Variance inter + Variance intra

 

 

¨   Sous H0 :    m1 = m2 =…….= mi =….. = mp= m           avec ai = 0  "i  

                     et     estimateur du même paramètre  s2      

d’où             »

et  donc le rapport     est proche de 1

 

¨   Sous H1 :    $  mi ¹ mj                                                  avec  au moins un  ai ¹ 0

                      unique estimateur de  s2      

d’où            ¹   avec  >>

et  donc le rapport     est très supérieur à  1

  

 Sous       H0 :  il n’y a pas d’effet du facteur A sur la variable Y

                                m1= m2 =…….= mi =….. = mp= m 

contre       H1 :  le facteur A exerce un effet en moyenne sur la variable Y

                                 $  mi ¹ mj

                       =    suit une loi de Fisher-Snedecor       

         Fobs comparée à Fseuil  lue dans la table de la loi de Fisher-Snedecor

             pour un risque d’erreur a fixé et (p-1, N - p) degrés de liberté.

 

            ·   si  Fobs > Fseuil  l’hypothèse H0 est rejetée au risque d’erreur a : le facteur controlé A a un effet significatif en moyenne sur les valeurs de la variable étudiée.

            ·   si  Fobs £ Fseuil  l’hypothèse H0 est acceptée: le facteur controlé A n’a pas d’effet significatif en moyenne sur les valeurs de la variable étudiée.

 

Remarque : Le rejet de l’égalité des moyennes ne permet pas de savoir quelles sont les moyennes significativement différentes.

Pour cela, la méthode des contrastes ou méthode de Scheffé permet de répondre à cette question

4.2       Application et Tableau de variation

Le tableau de variation donne un résumé des calculs effectués pour l’analyse de variance.

 

Sources de variation

Degrés de liberté

     Somme des

Carrés des Ecarts

    Carré Moyen

      Test de

Fisher-Snédécor

Totale

N - 1

SCETOT

 

Facteur

p - 1

SCEinter

CMinter= SCEinter / (p-1)

Résiduelle

N - p

SCEintra

CMintra= SCEintra / (N-p)

 

Pour effectuer les calculs, des formules développées peuvent être utilisées.

 SCETOT  =               avec   et

SCEinter  =                      avec   

SCEintra  =        ou          SCEintra =  SCETOT -  SCEinter

 

Exemple : 

L’anxiété des sportifs au moment de la compétition diffère-t-elle en fonction du niveau de compétition ? (Tableau de variation)