Le plus souvent le calcul d’une intégrale se ramène à la recherche d’une primitive.
Ainsi, le calcul de revient généralement à justifier l’existence d’une primitive F de f sur , puis à calculer F à l’aide du tableau des primitives usuelles ; on a alors immédiatement .
Exemple 14 : Calculer . Réponse.
On a vu précédemment (Chapitre 5, § 2.3.1) que :
Par généralisation, on obtient aisément que :
Exemple d’utilisation 15 : Calculer . Réponse.
Théorème :
Soient une fonction de classe (continue et à dérivée première continue) strictement monotone et une fonction continue sur . Alors :
avec et .
Remarque 1 :
Dans le théorème précédent, on a , c’est-à-dire que est bijective de sur .
Remarque 2 :
Si F est une primitive de f, alors on peut écrire :
Théorème :
Soient une fonction bijective de classe de J sur I et f une fonction continue sur I.
Si (F est une primitive de f), alors :
Autre formulation :
Si G est une primitive de sur J, alors est une primitive de f sur I :
avec et
Il vient
u Si , alors avec
v f paire
w f impaire
x .
En effet, le remplacement de par ne change pas l’intégrale entre 0 et d’une fonction de et . Le changement de variable correspondant est .
En particulier, .
y f T-périodique ou bien encore
Exemples 21
(1)
(2) ;
La fonction est -périodique.
Définition :
Une fraction rationnelle se présente sous la forme où et sont des polynômes à coefficients dans (ou ).
Sauf cas particuliers (qui confirment que la première méthode à essayer doit toujours être le changement de variable), par exemple :
l’intégration des fractions rationnelles nécessite la décomposition de la fraction en éléments simples. Cette dernière repose sur la connaissance des racines des polynômes P et Q.
Ø Si , on peut effectuer la division euclidienne de par suivant les puissances décroissantes pour faire apparaître une partie entière, qui est un polynôme en x, et une nouvelle fraction rationnelle où .
On effectue dans ce cas une décomposition en éléments simples de .
Ø Si , et étant l’ordre de multiplicité de la racine réelle , celui des deux racines complexes conjuguées de avec , alors :
avec et
Les sommes sont prises pour chacune des racines réelles et des couples de racines complexes conjuguées.
Cette décomposition s’appelle la décomposition en éléments simples de .
Exemple 22 : Décomposer en éléments simples . Réponse
Il s’agit de calculer pour entier .
Deux cas peuvent se présenter :
(1) :
(2) :
(3)
Exemple 23 : Calculer . Réponse
Il s’agit de calculer pour entier , avec .
Le mieux est de procéder selon les quatre étapes suivantes :
(0) S’armer de patience… !
(1) Faire apparaître dans la dérivée de :
Ainsi,
C’est-à-dire
est l’intégrale d’un élément simple de la forme précédente (voir § 4.4.2).
Reste donc à calculer
(2) Décomposer en une somme de carrés :
où et ( )
(3) Calculer
Si , alors
Si , alors on pose soit . Ainsi, on obtient :
s’obtient par linéarisation et/ou changement de variable (§ 4.3.).
(4) Rassembler tous les résultats intermédiaires précédents pour calculer .
Exemple 24 : Calculer . Réponse
Exemple 26 : Calculer . Réponse
Soit f une fonction trigonométrique de la forme . Le changement de variable qui doit être utilisé va dépendre de la parité de p, q.
On cherche à calculer :
Cas n°1 : q est impair On pose
Exemple :
Cas n°2 : p est impair On pose
même principe que dans le cas n°1.
Exemple :
Cas n°3 : p et q sont pairs et positifs On diminue le degré en utilisant les formules :
et
On recommence alors comme précédemment avec et .
Exemple :
Cas n°4 : p et q sont pairs (ou impairs), l’un au moins étant négatif On pose
Exemple d’application du § 4.5 :
? Calculer Réponse
Si l’intégrale cherchée ne peut pas être obtenue par utilisation d’une primitive usuelle, il peut être commode de la transformer en une ou plusieurs autres intégrales que l’on sait calculer.
Cette méthode n’est à utiliser que si toutes les autres méthodes ont échoué.
Proposition :
Soient et deux fonctions dérivables sur un même intervalle et f une fonction continue sur telle que . Alors :
Remarque :
Cette technique permet dans la pratique d’intégrer ou de simplifier certaines intégrales où est le produit d’une fonction u de dérivée simple et d’une fonction w facile à intégrer ; dans ce cas, on prendra .
Exemple 16 : Calculer . Réponse.
Exemples 17
? Calculer Réponse
? Calculer Réponse
Proposition :
Soient et deux fonctions de classe sur un même intervalle . On a alors l’égalité suivante :
· Si , alors
· Si , alors
La démonstration de cette proposition se fait par récurrence.
Exemple 18
Calculer par deux intégrations successives puis en appliquant l’égalité de la proposition précédente. Vérifier que les résultats sont identiques. Réponse
On cherche ici à calculer
Lorsque le degré de P est petit, on peut utiliser des intégrations par parties successives (en nombre égal au degré de P), en posant .
Par contre, si le degré de P est élevé, il est recommandé d’utiliser une méthode de coefficients indéterminés, c’est-à-dire que l’on cherche avec .
Exemple 29 : Calculer Réponse