Chapitre 8 : Test du c²

5         Tests du c²d’indépendance

5.1         Principe du test

Le test du c² d’indépendance constitue une autre formulation du test de comparaison de plusieurs distributions. Dans ce cas ce sont les distributions relatives à deux caractères (quantitatifs groupés en classe ou qualitatifs) présentant plusieurs modalités  et définis sur une même population qui sont comparées. On fait l’hypothèse qu’il y a indépendance entre les deux caractères dans la population :

H₀ : les deux caractères sont indépendants.

H₁ : les deux caractères ne sont pas indépendants       

.

·  Les données sont structurées sous forme d’un tableau des effectifs observés pour les deux caractères comparés ou table de contingence.           

 

		Caractère A
		modalité 1			Modalité        i			modalité p	total
Caractère B	modalité 1	n11			ni1			np1	n.1
	modalité j	n1j			nij			npj	n.j
	modalité q	n1q			niq			npq	n.q
	Total	n1.			ni.			np.	n..= N

                                  

avec          l’effectif n_ij correspond au nombre d’individus ayant la modalité i du caractère A et la modalité  j du caractère B                        avec     1 £ i £ p et 1 £ j £ q

                  l’effectif n_i. est la somme des effectifs de la colonne i

                 l’effectif n_.j est la somme des effectifs de la ligne j

                  l’effectif n_.. est l’effectif total de la table de contingence

 

·  Le tableau des effectifs attendus sous l’hypothèse H₀ : indépendance entre le caractère A et le caractère B      

		Caractère A
		modalité 1			modalité i			modalité p	Total
Caractère B	modalité 1								n.1
	modalité j								n.j
	modalité q								n.q
	Total	n1.			ni.			np.	n..= N

                     

 

Sous H₀, l’effectif attendu t_ij correspondant à la modalité i du caractère A (A_i) et à la modalité j du caractère B (B_j) peut être obtenu de la façon suivante :

       P(A_i Ç B_j) = P_ij = P(A_i) x P(B_j)     sous H₀ : indépendance entre les deux caractères

                        d’où     P_ij =   =    avec t_ij effectif attendu

                           d’où     t_ij = N * P_ij    ainsi      t_ij =

 

  

 

 

            ·   si  c²_obs. > c²_seuil l’hypothèse H₀ est rejetée au risque d’erreur a : il n’y a pas indépendance statistique entre les deux caractères étudiés dans la population.

·  si  c²_obs. £ c²_seuil l’hypothèse H₀ est acceptée: les deux caractères étudiés dans la population sont statistiquement indépendants.

 

Remarque :	La statistique du Khi-deux c2 ne peut être calculée que si les effectifs théoriques tij sont supérieurs ou égaux  à 5.
	Dans ce cas, il faut regrouper à la fois toute la ligne et toute la colonne correspond à la case possédant une valeur tij  inférieur à 5.

 

Exemple :

Sur un échantillon de la population française, on a noté pour chaque personne, la couleur des yeux et celle des cheveux (naturelle). Peut-on conclure à l’indépendance de ces deux caractères qualitatifs ? Réponse.