Chapitre 8 : Test du c²

4         Tests du c²d’égalité de distributions

 

Comme pour le test du c² d’ajustement, on considère un caractère (quantitatif groupé en classe ou qualitatif) présentant plusieurs modalités (p modalités) mais définis sur plusieurs échantillons indépendants (q échantillons). L’hypothèse H₀ testée est « l’égalité des q distributions observées du caractère étudié «. Ce test s’apparente aux tests d’homogénéité.

 

4.1         Principe du test

 

La statistique du Khi deux c² va permettre de mesurer l’écart qui existe entre les q distributions des effectifs observés pour la variable qualitative X sous l’hypothèse d’égalité des distributions dans les q populations comparées. On teste si cet écart est suffisamment faible pour être imputable aux fluctuations d’échantillonnage.

 

·  Les données sont structurées sous forme d’un tableau des effectifs observés ou

 table de contingence.          

 

 

	Caractère A
	modalité 1			modalité i			modalité p	Total
Echantillon 1     Echantillon  j     Echantillon  q      Total	n11			ni1			np1	n.1
	n1j			nij			npj	n.j
	n1q			niq			npq	n.q
	n1.			ni.			np.	n..= N

                       

La nomenclature commune aux tables de contingence est basée sur deux indices i et j:   

 l’effectif n_ij est celui de la colonne i et de la ligne j     avec    1 £ i £ p et 1 £ j £ q

                  l’effectif n_i. est la somme des effectifs de la colonne i 

                 l’effectif n_.j est la somme des effectifs de la ligne j

                  l’effectif n_.. est l’effectif total de la table de contingence

                                  

·  Le tableau des effectifs attendus sous l’hypothèse H₀ : les q échantillons indépendants proviennent de q populations où la distribution en fréquence du caractère étudié est identique :

               

	Caractère A
	modalité 1			modalité i			modalité p	Total
Echantillon 1         Echantillon  j       Echantillon  q      Total								n.1
								n.j
								n.q
	n1.			ni.			np.	n..= N

             

Sous H₀, l’effectif attendu t_ij correspondant à la modalité i du caractère A (A_i) pour l’échantillon j  peut être obtenu de la façon suivante :

               P(A_i Ç échantillon j) =  P(A_i) x P(échantillon j)  (deux évènements indépendants)

              d’où     P_ij =   =    avec t_ij effectif attendu

               d’où     t_ij = N * P_ij    ainsi      t_ij =

 

Ainsi, le nombre de degrés de liberté correspondant au nombre d’effectifs estimés indépendants est (p - 1)(q - 1).  Les effectifs associés à la colonne p peuvent être obtenus par différence avec la distribution marginale des lignes (p-1)  et inversement pour les effectifs associés à la ligne q (q-1) (cases indépendantes grisées dans  la table de contingence)

 

4.2       Application et décision

·   si   >  l’hypothèse H₀ est rejetée au risque d’erreur a : les différents échantillons sont extraits de populations ayant des distributions différentes du caractère étudié.

·  si   £  l’hypothèse H₀ est acceptée: les différents échantillons sont extraits de populations ayant la même distribution du caractère étudié.

 

Remarque :	La statistique du Khi-deux c2 ne peut être calculée que si les effectifs théoriques tij sont supérieurs à 5.
	Dans ce cas, il faut regrouper à la fois toute la ligne et toute la colonne correspond à la case possédant une valeur tij  inférieur à 5.

 

Exemple :

Les groupes sanguins A,B,AB et O ont été déterminés dans trois échantillons (E₁ : France, E₂ : Roumanie, E₃ : Proche-Orient) d’hommes adultes. La répartition des groupes sanguins dépend-elle d’un facteur géographique ? Réponse.

	A	B	AB	O
E1	54	14	6	51
E2	45	14	8	31
E3	33	34	12	33

 

 

4.3       Cas particulier de la comparaison de deux fréquences

 

Le test du c² de comparaison de deux fréquences est un cas particulier du test de comparaison de plusieurs distributions. Dans ce cas le caractère étudié présente deux modalités (A = succès,

 = échec) et est étudié sur deux échantillons indépendants extraits de deux populations. On fait l’hypothèse que les deux échantillons proviennent de 2 populations dont les probabilités de succès sont identiques : H₀ : p_{1 =} p₂ .

 

· Table de contingence des effectifs observés (voir nomenclature A  et B)        

 

      

                                             Table A                                                       Table B

	Succès           Echecs		Effectifs		Succès    Echecs		Total
Echantillon 1	k1	n1- k1	n1		n11	n21	n.1
Echantillon 2	k2	n2- k2	n2	ou	n12	n22	n.2
Total	k1+k2	(n1+n2)-(k1+k2)	n1+n2		n1.	n2.	n..= N

 

· Table de contingence des effectifs attendus sous H₀ : p_{1 =} p₂  

           

	Succès                Echecs		Total
Echantillon 1			n.1
Echantillon 2			n.2
Total	n1.	n2.	n..= N

 

  

 

            ·   si   >  l’hypothèse H₀ est rejetée au risque d’erreur a : les deux échantillons sont extraits de deux populations ayant des probabilités de succès  respectivement p₁ et p₂.

·  si   £  l’hypothèse H₀ est acceptée: les deux échantillons sont extraits de deux populations ayant même probabilité de succès p.

Remarque :	· La statistique du Khi-deux c2 ne peut être calculée que si les effectifs théoriques tij sont supérieurs à 5. Dans ce cas, il faut regrouper à la fois toute la ligne et toute la colonne correspond à la case possédant une valeur tij  inférieur à 5.
	· La statistique du Khi-deux c2 d’une table de contingence 2 x 2 avec 1 ddl correspond au carré d’une variable normale centrée réduite e2  (démonstration).

 

Exemple :

Reprendre l’exemple de l’impact des travaux dirigés dans la réussite à l’examen de statistique avec le test du Khi-deux c². Réponse.