Chapitre 8 : Test du c2
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Test du c2
d’ajustement
Le test du c2 d’ajustement
correspond à la comparaison d’une distribution de fréquences observées et d’une
distribution de fréquences théoriques. Ce test est fréquemment utilisé en génétique,
où l’on confronte les résultats expérimentaux de croisements pour un caractère donné à ceux résultant d’une
transmission mendélienne de ce caractère. Le champ d’application de ces
méthodes ne se limite pas à la génétique.
En effet l’utilisation des tests
d’hypothèse tels que nous les avons définis, implique la réalisation de
certaines hypothèses comme par exemple la
normalité de la variable étudiée. Il est donc nécessaire de comparer
la distribution observée des valeurs à celle attendue dans le cas d’une
distribution normale de celles-ci (ajustement
à une loi normale).
3.1
Principe du test
Le principe du test du c2 d'ajustement est d’estimer à partir d’une loi de probabilité connue ou inférée, les effectifs théoriques pour les différentes modalités du caractère étudié (caractère qualitatif ou quantitatif regroupé en classe) et les comparer aux effectifs observés dans un échantillon. Deux cas peuvent se présenter :
· soit la loi de probabilité est spécifiée a priori car
elle résulte par exemple d’un modèle déterministe tel que la distribution
mendélienne des caractères, l’évolution de la taille d’une population, etc.
· soit la
loi de
probabilité théorique n’est pas connue a
priori et elle
est déduite des caractéristiques statistiques mesurées sur l’échantillon
(distribution des fréquences, moyenne et variance)(statistiques descriptives).
3.2
Application et décision
L’établissement des distributions théoriques de probabilité
se réfèrent aux lois
de probabilité. A chaque
modalité ou valeur de la variable aléatoire X,
les probabilités associées à la loi de probabilité sont calculées ainsi que les
effectifs
théoriques attendues sous cette loi :
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Modalité du
caractère A
A1 A 2 ... A i …….. A k
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Effectif observé
ni
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n1 n2
…..ni …….. nk
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pi
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p1 p2 .…..pi ……... pk
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Effectif théorique
ti = n * pi
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t1 t2 ..…ti ……….. tk
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| Remarque : |
Si le caractère A ne présente que deux modalités A
(succès) et
(échec), |
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le test du c2 d'ajustement revient à la comparaison d’une fréquence observée et d’une fréquence théorique (test de conformité).
|
La statistique du Khi deux c2 consiste à mesurer
l’écart qui existe entre la distribution théorique et la distribution observée
et à tester si cet écart est suffisamment faible pour être imputable aux
fluctuations d’échantillonnage.
L’hypothèse testée est la suivante :
H0 : la distribution observée est conforme à la distribution théorique.
H1 : la distribution observée ne s’ajuste pas à la distribution théorique.
k modalités du caractère étudié
avec ni l’effectif observé et ti l’effectif théorique attendu sous H0
c2obs. est comparée avec la valeur seuil, c2seuil lue sur
la table du c2 pour k-c ddl (degrés de liberté) et pour un risque d’erreur a fixé.
| Remarque : |
Il est impératif que les conditions d’application soient
vérifiées : |
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taille de l’échantillon n ³ 50 et les npi ³ 5.
|
Exemple :
Soit le locus biallélique codant pour la glucose 6 phosphate
déhydrogénase (G6PDH), enzyme participant au métabolisme énergétique
(dégradation des sucres), l’analyse électrophorétique des génotypes chez
l’anophèle, vecteur de la malaria, donne la répartition suivante :
FF = 44, FS = 121, SS = 105.
La répartition des génotypes est-elle conforme au modèle
de Hardy-Weinberg ? Réponse.
3.3
Ajustements à différentes lois de probabilité connues
3.3.1
Ajustement à une loi binomiale
Application
Est-ce que la distribution du nombre de filles observées
dans 320 fratries de 5 enfants suit une loi binomiale de paramètre B(5, 0,5) ? Réponse.
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X : Nbre de filles (i)
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0
1 2 3 4 5
|
|
Nbre
de fratries observées (ni)
|
18
56 110 88
40 8
|
La distribution théorique suit une
loi binomiale B(n,
p)
avec n :nbre d’épreuves
p : probabilité du succès
k : nbre de valeurs prises X
Le nombre de degrés de liberté est :
nombre de termes du c2 ( £ k) moins le nombre de contraintes c
· c = 1 (n) si p est connue
· c = 2 (n et
) si p est inconnue avec
Exemple :
Refaire le test du c2 d’ajustement en utilisant pour p,
la fréquence observée du nombre de filles dans les fratries de 5 enfants, faite à partir des données de l’échantillon. Réponse .
3.3.2
Ajustement à une loi
de poisson
Application
Est-ce que le nombre de cas graves traités chaque jour par
un vétérinaire sur une période de 200 jours suit une loi de poisson ? Réponse.
|
X : Nbre de cas graves (i)
|
0
1 2 3 4 5 et plus
|
|
Nbre
de jours (ni)
|
50
74 50 21
4 1
|
La
distribution théorique suit une loi
de poisson P(l)
k : nombre de valeurs prises X
Le nombre de degrés de liberté est :
nombre de terme du c2 ( £ k) moins le nombre de contraintes c
· c = 1 (n) si l est connu
· c = 2 (n et
) si l est inconnu avec
=
| Remarque : |
La distribution de poisson n’étant pas bornée lorsque X ® + ¥ , |
|
il est nécessaire de borner la distribution en estimant la probabilité de la dernière classe par différence avec la somme des probabilités qui est de 1.
|
Exemple : En reprenant les données relatives à la cécidomyie du hêtre , peut-on affirmer que la répartition du nombre de galles par feuille suit une loi de poisson ? Réponse
.
3.3.3 Ajustement à une loi normale
Application
Le caractère « taille » mesuré sur 1000 individus peut-il être considéré comme suivant une loi normale ? Réponse.
|
X : taille en cm (xi)
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< 155 [ 155-165 ] [ 165-175 ] [ 175-185 ] >185
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Nbre d’individus (ni)
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1 70 500 379 50
|
La distribution théorique suit une loi normale N(m,s)
P(a £ X £ b) = P(za £ Z £ zb) = p(b) - p(a) (voir probabilités)
avec la variable centrée réduite
et k : nombre de classes de la variable X
Le nombre de degrés de liberté est :
nombre de terme du c2 (£ k) moins le nombre de contraintes c
· c = 1 (n) si m et s connues
· c = 2 (n ,
) si m inconnue avec
=
(même chose si s inconnue )
· c = 3 (n ,
,
) si m et s inconnues avec
=
et